完整的勾股定理是这样滴：平面上的的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。

一般人的问题出在“反之”之后：“反之”之前叫做原名题，“反之”之后就是它的逆命题。两者都成立啦，才叫做勾股定理。

古时所谓“勾三股四弦五”只是勾股定理的一个特例，根本不能说，勾股定理是中国人“发明”或“发现”滴。世界比较一致公认的证明了勾股定理的是希腊人“毕达哥拉斯”。所以勾股定理就是“毕达哥拉斯”定理。总之，勾股定理的证明和中国没有任何关系。

一般比较通俗的认为，只要证明了定理的前半部分，即：两条直角边的平方和等于斜边的平方，就算完事啦。而且不少人找出了所谓“简洁”的证明方法。

但是完整的证明，还需要证明定理的后半部分，即：两条边的平方和等于第三边的平方的三角形，是直角三角形。

前半部分不说了，很多人都知道，而且，据说美国总统还找出了一种证明方法。那不新鲜，俗话说：”第一个用“美丽”形容女人的是聪明人，第二个用“美丽”形容女人的是傻瓜。”

勾股定理的后半部分是这样滴：“两条边的平方和等于第三边的平方的三角形，一定是直角三角形。”

这是一个“命题”，它的“逆否命题”是：不是直角三角形，一定做不到两条边的平方和等于第三边”。根据逻辑学基本原理，原名题和逆否命题是等价滴。只要证明了这个逆否命题，原名题一定成立。因此问题转化为证明：“不是直角三角形，一定做不到两条边的平方和等于第三边”。

因为画图困难，以下全凭口述：

第一步：做一个任意三角形，钝角三角形和锐角三角形都可以。

第二步：以三角形的一条边为基础，或者延长另一条边，或者减少另一条边的长度，总可以做出一个直角三角形来。

第三步，新作出的直角三角形，一定符合勾股定理的前半部分，这个已经证明过啦。

结论，原作的锐角或钝角三角形不可能满足两条边的平方和等于第三边。

证毕。