悖论是不存在的 － 解析之诺悖论和0.999...

粱远声

芝诺（Zeno 490BC-435BC）生活在古希腊。他的阿基里斯与乌龟的悖论说：跑得最快的阿基里斯永远追不上跑得慢的乌龟。因为他首先必须跑到乌龟的起跑点，这时候乌龟已经往前爬了一段路。当他赶上这段路时，乌龟又向前进了一些。如此等等，无论什么时候阿基里斯追到了乌龟当前的位置，乌龟在这段时间内又向前爬拉开了距离，这个差距虽然在缩小但一直存在，在这无穷追赶过程中不会是零。因此跑得慢的乌龟永远领先，无法被超越。 

常识或现实告诉我们，跑得快的阿基里斯是能够追上跑得慢的乌龟的。那么问题出在哪里？是逻辑与现实的矛盾吗？现在让我们用一个例子对之诺悖论进行解析。

为了方便,用A代表阿基里斯,用C代表乌龟。假设A的速度是2，C的速度是1。A，C都是质点没有线度。A和C之间的初始距离是1。

第一步：A位移1。我们写出如下表达式,
A:1; t:1/2; C:1/2; D: 1/2
式中A:1代表A走过的距离是1，t:1/2代表当前时刻是1/2，C:1/2代表C走过的距离是1/2，D: 1/2代表A,C之间的距离是1/2.
第二步：A位移1/2。我们写出如下表达式,
A:1+1/2; t:1/2+1/4; C:1/2+1/4; D: 1/4
第三步：A位移1/4。我们写出如下表达式,
A:1+1/2+1/4; t:1/2+1/4+1/8; C:1/2+1/4+1/8; D: 1/8
第n步：A位移1/(2^(n-1))。我们写出如下表达式,
A:1+1/2+1/4+...+1/(2^(n-1); t:1/2+1/4+1/8+...+1/2^n; C:1/2+1/4+1/8+...+1/2^n; D: 1/2^n
整理后得到，n步之后：
A走过的距离 = 1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1) = 2(1-1/2^n)            (1)
累加的时间 = 1/2+1/4+1/8+...+1/2^n = 1-1/2^n                  (2)
C走过的距离 = 1/2+1/4+1/8+...+1/2^n = 1-1/2^n                 (3)
A,C之间的剩余距离 = 1/2^n                                     (4)
根据数理模型，
A追上C所需要的时间是 1/(2-1) = 1                            (5)
A追上C所走过的距离是 2(1) = 2                                 (6)

现在看看表达式(1)是什么意思。表达式(1)是把A走过的距离记录并累加。我们把它称作收录好了。但是这个收录方式是离散的，且每次收录都留有余量。所以收录的结果，无论n等于多少，都小于A走过的实际距离。也就是说，这个结果永远小于2。

再看看表达式(2)是什么意思。表达式(2)是把记录A走过距离的时间记录并累加。这个收录方式也是离散的，与(1)的收录是同步的。收录的结果，无论n等于多少，收录的时间都小于1。

收录的时间都小于1，当然所收录的A走过的距离小于2。分析到这里，我们知道，因为采用的收录方式，收录的结果小于A走过的实际距离。这并没有证明A走不到距离2。收录方式是离散的，A走的过程是连续的。但这并不是说，所有离散方式不能收录A走过的实际距离。如果在A位移1时收录一次，再一次位移1时收录一次，就收录到A走过的全部距离。

还有一个类似的例子。假设有一个木杆，长度是2。第一次截取它的一半，以后每次截取剩下部分的一半，那么无论多少次也截取不完。这样的收集方式，其结果(就是公式（1)),永远小于2。但是我们不能否定木杆的原长是2。这里的木杆原长相当于A追C走过的实际距离，这里的收集方式相当于对A走过的实际距离的收录方式。

综上所述，根据芝诺悖论所给出的信息，正确的叙述是这样的：阿基里斯比乌龟跑得快。乌龟在前，阿基里斯在后。首先阿基里斯跑到乌龟的起跑点，记录阿基里斯跑得距离。这时候乌龟已经往前爬了一段路。阿基里斯赶上这段路时，记录阿基里斯跑得距离，乌龟又向前进了一些。如此等等，无论哪一次记录，在记录的瞬间，阿基里斯与乌龟之间都有一段距离。这个距离虽然在缩小但一直存在。因为下一次记录前，A还要向前走，所以这种收录方式的结果永远小于阿基里斯走过的实际距离。
 
收录的结果永远小于阿基里斯走过的实际距离能证明阿基里斯追不上乌龟吗？不能！根本是不同的概念。所以芝诺悖论是偷换概念，是诡辩论。这就是芝诺悖论的逻辑漏洞，根本不是什么逻辑与现实的矛盾，也不是什么潜无穷与实无穷的问题。

这里顺便讨论一下1与0.999...的关系。0.999...是一种书写方式。那么怎么解读0.999...呢。只有两种解读方式。一是把0.999...解读成数列。

an = 0.n个9

如果这样解读，无论n等于多少，an < 1。这可以用数学归纳法证明的。再一种解读方式是把0.999...解读成数列an的极限。如果这样解读, 0.999... = 1。如此而已，没有什么玄机。

所有严格单调增加的有界数列都不能达到它的上确界。但不能由此否定上确界的存在。

第一次数学危机，第二次数学危机都被化解了。第三次数学危机根本就不能称作危机。悖论是不存在的。如果说这个论断过于大胆，那至少可以说，到目前为止，所有传说的悖论都不是真正的悖论。