【数学】一个素数的充要条件--双平方和定理

100以内的素数如下【25个】：

2，3，5，7，

11，13，17，19，

23，29，31，37，

41，43，47，53，59，

61，67，71，73，79，

83，89，97.

从以上这个素数的小样本里，可以看出，除了唯一的偶素数2以外，余下的24个素数若被4除，可以分成2大类：

1】可写成（4k+1）形式的素数，k为不小于1的整数：5，13，17，29，37，41，53，61，73，89，97【11个】；

2】可写成（4k+3）形式的素数，k为不小于0的整数：3，7，11，19，23，31，43，47，59，67，71，79，83【13个】。

1640年的圣诞节，著名法国数学家费尔马（Pierre de Fermat，1607-1665）写信给另一位法国数学家Marin Mersenne（1588-1648）【有名的梅森素数就是以他的名字命名的】，提出一个问题：什么数可以表示为2个平方之和？

从费尔马的这封信，引出了素数的一个充分必要条件：

一个奇素数可表为两个平方数之和的充分必要条件是此素数可写为4k+1的形式，k为不小于1的整数。

这种类型的素数，被称为“毕达哥拉斯素数【Pythagorean primes】”，即在“勾股定理”（西方称“毕达哥拉斯定理”）中，代表“弦”的那个数。

费尔马提出的这个问题虽然貌似简单，但是证明起来并不那么容易。

直到100多年后的1747年，著名瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）才对此做出了证明。以后的几位数学家利用较新的不同的数学理论，不断地对这个定理进行了新的各种证明。

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相关链接：

Fermat's theorem on sums of two squares：

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares

Proofs of Fermat's theorem on sums of two squares：

https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares