从“M(N)-抽奖”看平等得奖机率

在这里我介绍一个可以叫做“M(N)-抽奖”的赌博机率问题。　这里的M是一个正整数或者自然数，N是一个不超过M的正整数。我们用｛１，２，……，M｝表示从１到M的所有M个自然数的集合，这里花括号用来表示集合;这是一个国际通行的标准数学记号。“M(N)-抽奖”的玩法是，从这个集合｛１，２，……，M｝中随机地抽出N个数字。如果两个数字之间的差是１，我们说他们是相邻的两个数。得奖的规则是：如果得到的结果中没有任何两个相邻的数字，那么就是赢家。　

比如，M＝３，N=３的情形；　也就是说我们考虑“３（３）-抽奖”。　这里总共只有三个数字，选出三个数字，当然只有一个选法。那就是所有前三个自然数的集合｛１，２，３｝；在这个选择中，１与２挨着，２与３挨着，所以不符合得奖的条件；得奖的可能性是０。

我们再看“３（２）-抽奖”的情形。从｛１，２，３｝中间选出两个数字，结果有｛１，２｝，｛１，３｝，｛２，３｝三种可能。其中只有｛１，３｝符合没有相邻数字的条件。成功率为１／３，或者三分之一。　

问题１：在“４（２）-抽奖”中，写出所有的可能选择。　

问题２：在“４（２）-抽奖”中，写出所有的成功结果。

问题３：在“３（１）-　和　５（２）-等两个抽奖”中，成功的可能性有多大？

前面的问题可以给小孩子玩一玩，或许可以激发他们对数字的兴趣。可能令大家惊奇的是，下面的问题居然是不久前才被德国某大学两位教授解决的问题。

问题４：　除了“4（２）-抽奖”以外，还有没有平等机会的抽奖？ 找出答案并给予证明，大慨可算作数学系大学生的一篇好论文；尽管篇幅可能只需要两三页纸。这个结论是一篇在２０１１年刚刚发表在欧洲一本数学学术杂志上的文章中的一小部分结果。还有很多紧接着的问题可以作为数学系与计算机系的硕士论文甚至博士论文材料。

注：　记得有一次谈到民主的机会均等的时候，昭君的一段评论启发我写了“民主是愿赌服输吗？”的一篇微博。如果用这里的例子，从数学上可以严格地说，机会均等是很难做到的。因为从千千万万个不同的”M(N)-抽奖”中，我们（人类）刚刚在２００９年（２０１１年发表）严格地证明了只有“４（２）-抽奖”中得奖的机会是平等的。我是这篇文章的评论员，所以“假公济私”写这一篇日志献给万维的网友们。

附：

问题１的答案：　

｛１，２｝，　｛１，３｝，　｛１，４｝，　｛２，３｝，　｛２，４｝，　｛３，４｝；这里一共有６种可能性。

问题２的答案：　

｛１，３｝，　｛１，４｝，　｛２，４｝；共有３种成功的可能性。

问题３的答案：　

６种可能性中有３种得奖的可能性；　成功的机率为３／６＝１／２＝５０％。

问题４的答案：

在“３（１）-抽奖”中，没有成功的可能性，成功率为０。

在“３（２）-抽奖”中，有３种可能性，其中成功的可能只有１种；成功率为１／３。

在“５（２）-抽奖”中，有３／５＝６０％的成功率。

问题４的答案：　

“４（２）-抽奖”是唯一使成功机率为１／２的此类抽奖，任何其他此类抽奖都不可能得到５０％的成功机会。　

相关链接：　民主是愿赌服输吗？