黎曼猜想是什么（２）

2. 算术基本定理与黎曼zeta函数。

算术基本定理又叫唯一分解定理。这个定理是说，每一个大于1的正整数N都可以写成有限个质数（或者素数）的乘积；这个乘积叫做N的因数分解。N的因数分解中的质数因子可以有重复但是其个数是由这个被分解的正整数确定的，不同整数的分解是不可能相同的。这个定理几乎有两千年的历史。 算术基本定理描述了全体素数是整个大于一的正整数之集合的生成集；就是说从所有素数的集合出发，把所有有限乘积都加进去就得到了所有大于1的正整数之集合。

描述质数之个数的结论叫做素数定理，这个定理根据估计的准确度可以有多种不同的形式。固定任何一个比一大的正整数N，通过简单的实验人类很早就知道在一到N之间我们可以期待有少数质数。比如在1到10之间有2，3，5，7这四个质数；占几乎五分之二。 这个比例平均地讲随着N的增加在减少，实验结果告诉我们在一到N之间大概有 M =log（N)　分之一的整数是质数。这里的　log(N)　是类似与常用对数的（以ｅ为底的）自然对数。这个ｅ是继圆周率ｐｉ之后的第二个重要数学常数。用公式表示，通常把从一到N之间的质数个数表示为 pi(N)。这里的　pi　用的是圆周率的同一个符号，但是不是指那个圆周率常数，而是用来表示质数计数函数。 最简单的素数定理是说　pi(N)　大致等于N　与 log（N)　的商。　这里的大致必须用数学词汇准确地描绘。 其他精确的素数定理就要给出对这个函数的更精确描写加上对误差的估计。

在黎曼之前，高斯对质数计数函数有一个猜测，那就是用现在叫做　高斯的(logarithmic integral) 对数积分函数 li（N) 来代替上面所提到的N与log（N)之商。高斯对后来叫做黎曼zeta函数的那个数学对象已经有过一些研究。1859年，黎曼在他唯一关于数论的研究论文中引进复数作为变量，从而制造出现在叫做黎曼zeta函数的这个特殊函数。黎曼zeta函数是一个以复数为变量的函数，除了一个奇点以外这个函数在整个复数平面上是解析的。这里用的的“解析”一词，基本上就是微积分中无穷次可微分的意思。

要解释什么是黎曼zeta函数，我们还是从如何计算质数的个数说起。 数学发展到前两个世纪中间的时候，已经有了非常成熟的无穷个数字相加的工具。　其实几乎两千年前就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的说法。如果把二分之一，四分之一，八分之一，十六分之一，等等一切，一直加起来，可以想象其和为一。 严格地说，这就是现代数学系大学高年级里学到的“无穷级数”。定义黎曼zeta函数就必须要用到“无穷级数”与“解析”的概念，所以至少要到大学数学系接近毕业的学人们才可能真正理解黎曼zeta函数的定义。

这里给出在某个场合本人曾经使用过的一个笼统解释，那就是黎曼zeta函数其实就是把所有的正整数添加必要的附带数据后然后巧妙地糅合在一起得到的一个函数。不难想象，有关整数的所有一切都被揉在里面了。 因此可以说，这个函数既展示了宇宙的完美无瑕，又显现出这个世界的杂乱无章。 对于数学家们的问题就是，如何从这个非常复杂的函数里面找到清晰的数学数据。 

既然有无穷个质数存在，我们可以比如用每一个正整数的倒数来相加。事实上，所有正整数的倒数相加起来叫做调和级数。调和级数的和仍然是一个无穷大；而这正是黎曼zeta函数中唯一一个奇点的来源。如果把所有正整数的平方的倒数加起来，那么得到的结果等于那个圆周率的平方除以6。这样用来研究质数个数的黎曼zeta函数与圆周率也有着紧密的联系。事实上，所有的数学理论都是紧密地联系在一起的。作为开端，黎曼zeta函数被定义为所有正整数的其复数变量次方的和，比如我们必须定义2的pi次方是什么意义。但是这个定义只对复数变量的实数部分大于一的时候有用，然后就要进行进一步的解析延拓把这个函数对所有复数变量都给予定义。除了在复数变量为一的时候为无穷大以外，其他所有复数变量对应的函数值都是有限的。这就是对于什么是黎曼zeta函数的一个简单解释。

相关链接：