概率论的起源——机会性游戏 by 王幼军

　　概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最必需的知识之一。正如十九世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此，整个的人类知识系统是与这一理论相联系的……。”

　　的确，我们只要浏览一下当今的报纸，看一看电视，就会发现在某种程度上概率统计的语言已经成为人类生活中重要的一部分。然而，饶有趣味的是，这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索：人们对于机会性游戏的研究思考。

1. 机会性游戏

　　所谓机会性游戏就是靠运气取胜一些游戏，如赌博等。这种游戏不是哪一个民族的单独发明，它几乎出现在世界各地的许多地方，如埃及、印度、中国等。著名的希腊历史学家希罗多德（Herodotus）在他的巨著《历史》中写道：早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿的困扰，经常聚集在一起掷骰子和紫云英，这是一种叫做“猎犬与胡狼”的游戏，照一定规则，根据掷出各种不同的紫云英而移动筹码。大约从公元前1200年起，人们把纯天然的骨骼（如脚上的距骨）改进成了立方体的骰子，方法是摩擦骨骼使其成为一个粗糙的立方体，骰子的六面就形成了，再在骰子面上刻上不同的数字。它是游戏中常用的随机发生器，可能因为当时没有表示数字的符号或简单标记，早期骰子各面的数字都被刻成浅浅的印迹。现在相对面的数字之和是7的骰子大约产生于公元前1400年的埃及。到了中世纪，基督教堂曾发起多次活动以反对玩骰子和纸牌，对这种游戏的抵制不仅仅因为是赌博活动，更是因为与赌博相伴随的酗酒和其它恶行的出现。但是，赌博仍然屡禁不止，甚至在1190年的第三次十字军战争中，不得不做出这样一个规定：任何一个骑士身份以下的人不允许赌钱，而骑士和牧师则可以玩，但在24小时之内不得输过20先令。总之，在自古至今各国文献的记载中，有关赌博等机会性游戏的记载的文献是非常丰富的，赌博手册的存在、各种随机发生器的发明，各个时代和国家经常展开的反对赌博的斗争活动等都是早年机会性游戏流传的明证。

　　在玩骰子游戏的几千年的时间里，概率理论的某些思想可能早应该出现了。但是一直没有迹象表明人们观察到赌博与数学之间的直接关系，甚至没有发现有人意识到骰子点数下落的频率的计算是可能的、有效的，或每一面会以相同的频率出现等这些最简单的概率思想的萌芽。对于概率的思想出现得如此缓慢的现象，人们提出了许多解释的原因。这些解释包括：可能是由于缺少完美平衡和“诚实”的骰子，因而阻碍了人们发现任何可察觉的规律；或者由于缺少适当的数学概念和符号而阻碍了数学的探索；缺乏刺激概率思想研究的经济问题；还有一个更有力的原因可能是“随机”概念本身与时空观念相对：长期以来，人们一直认为：一系列的好运和坏运都是神授的。人们相信上帝或众神以某种预先确定的计划指导着世俗的事件，所以随机不但是不可能的，甚至是不可想象的。古希腊人似乎已得到这样的结论：精确和规律只存在于神的王国，而混沌和无规律则是人类世界的特征。但是他们不愿使理想化的自然规律屈从于一个不完美的物理世界的事实，因而未能发展概率的思想。还有一个解释涉及到道德的规范，赌博长期以来被视为一种不道德的行为，历史上充满了限制、制止赌博的各种尝试。既然赌博被视为不道德的，那么将机会性游戏作为科学研究的对象也就是大逆不道了。然而这些原因没有一个得到广泛的认可，人们对每一个猜测都提出了反驳的理由。

2． 概率的萌芽

　　直到文艺复兴时期，随着阿拉伯数字和计算技术的广泛传播，简单代数和组合数学的发展，并且哲学的思想开始转变、拓展时，随机事件的试验和计算在本质上才有所进展，概率的思想才开始逐渐浮出水面。现在有史可查的对于赌博问题最早加以研究的是从意大利开始的。最初人们研究的重点是赌博输赢的各种可能性或次数。在早期的一些文献中，经常提到对观察的结果如何加以归类计算这类问题，这是一个非常实用的问题，也是赌徒们最迫切关切的问题。比如。1477年意大利但丁的《神曲》的注释本刊印，在该书的“编印缘起”中讲到了投掷三颗骰子可能出现的各种结果，等等。15世纪后期和16世纪早期，当一些意大利数学家开始思考在包括赌博游戏中各种存在结果的数学的比率时，开始有了对概率第一次纯数学的处理。

　　卡尔达诺（Girolamo Cardano，1501—1576）是意大利数学和医学教授，他天资聪明，常常不循规蹈矩，有着有趣而丰富的经历。他的最著名的著作是1524年出版的《伟大的艺术》（Ars Magna），其中包括了那时所有发展起来的代数规则，包括求三次和四次方程的根的解法。在他一生中超过40年的时间里，卡尔达诺几乎每天都参与赌博。早年时，他就认定，如果一个人赌博不是为了钱，那么就没有什么能够弥补在赌博中耗去的时间，这些时间本来是可以花在更值得做的事上的，比如学习。作为对在不合适的活动中浪费时间的补偿，他认真地分析了这种活动中的有价值的方面——智力因素，例如，从一副牌中抽出A的概率是多少？同时掷两个骰子，出现点数的和为七的概率是多少？等等。最终，在一本名叫《机会性游戏手册》（Liber de Ludo Aleae）的书中，他公布了这些调查和思考的结果和他关于赌博实践的体会。这本书成书于1526年左右，但直到一百多年后的1663年才出版。在书中他提醒他的赌徒朋友：在分牌时，得到某一张牌的机会是随着前一张牌的选走而增大的。在题为“掷一个骰子”的章节里，他写到：“我能掷出2、4、6，同时也能掷出1、3、5。因此，如果骰子是‘诚实’的，那么下赌注就应依据这种等可能性；如果骰子不是“诚实的”，那么它就以一定的或大一点或小一点的比例离开这种等可能性。”这里面已包含了“把概率定义为等可能性事件的比”的思想萌芽，即一个特殊结果的概率是所有达到这个结果的可能的方法的数目被一个事件的所有可能结果的总和所除。此时是第一次，人们看到关于骰子的问题由经验向理论的概率思想的转变。从这一角度来讲，有人认为卡尔达诺可以被称为是“概率论之父”，概率论这一个数学分支应当以此作为起点。但是这种观点并未得到广泛认可。

　　除了卡尔达诺，伟大的天文学家伽利略也早已开始对掷骰子的问题进行数学化的思考，在一篇写于1613和1623年之间、标题为《关于骰子游戏的思想》（Sopra le Scoperte de I Dadi）的短文中，伽利略解释了在抛掷三枚骰子时为什么会有216种同等可能的结果的问题。他在其短文开头就说，有人曾经要求他解释为什么三枚骰子的某些和数的出现看来似乎有同样大小的可能性，而玩骰子的人们却认为它们不是同等可能的，如和数为10比和数为9更占有优势。伽利略的所用方法的思路是：所有可能的结果有6×6×6=216，三个骰子诸面点数构成和为9的各种组合是：1，2，6；1，3，5；1，4，4；2，2，5；2，3，4；3，3，3。而和为10的组合为1，3，6；1，4，5；2，2，6；2，3，5；2，4，4；3，3，4。但是各种组合出现的几率并非相等，例如，3，3，3的组合只有一种途径掷出，而3，3，4则有三种不同的途径掷出。实际上，9可以有25种不同的途径掷出而10则有27种不同的途径掷出，这就是10比9较常出现的原因。用现在的知识知道，出现和数为9的可能性为25/216，出现和数为10的可能性是27/216。为什么一个赌徒能够区分出这么小的差别？人们认为一个合理的解释是：这种知识来自几百年的积累和代代相传下来的经验。

3． 概率的产生

　　尽管有卡尔达诺和伽利略等先驱者的一些非常重要的工作，而概率论历史学家大多赞同这样一个观点：对于数学中一个非常特别的问题的解法的探求成为数学化的概率科学产生的标志之一，这个问题被称作“点问题”。所谓“点问题”是指当游戏在完成前被终止时，怎样处理两名技能相当的游戏者的赌金分配问题，其依据是游戏者的得分数或是游戏终止时的点数。意大利的帕巧利（Luca Pacioli，1445—1509）早在1494年出版的《算术书》（Summa de Arithmetica）一书中，就提到了赌博中常常遇到的“点问题”，他是最早在数学著作中提到点问题的作者。紧接着，卡尔达诺和他的对手塔尔塔利亚 (Nicola Fontana Tartaglia 1499—1557)都讨论过这个问题。然而，所有这些人，对这一问题得出的结论都不正确。直到一百多年后，在1654年，一个名为德.梅勒（de Mere，1607——1684）的法国人把这个问题寄给了当时的数学天才帕斯卡，从此概率论历史上一个决定性的阶段才开始了。

　　帕斯卡（Blaise Pascal，1623——1662）在早年就表现出了超常的数学能力，在数学史中他被称作“最伟大的天才”（Greatest Might-Have-Been），他曾经对微积分、射影几何、概率论等数学分支做出了巨大的贡献。他拥有如此高的数学天赋和非常敏锐的直觉能力，他理应创造更多的发现。不幸的是，在他生命的大部分时间里，他倍受敏感性神经痛和精神幻觉症的折磨。他于1662年去世时年仅39岁。

　　与帕斯卡共同分享概率论的创始人的声誉的法国另一位数学家费马（Pierre de Fermat，1601—1665）的一生则充满了喜悦与和平。他的职业是一名律师，他把他大部分的空余时间都献给了数学研究。虽然他没受过什么特别的数学训练，但是在数学这一领域中，却取得了同时代其他数学家不可比拟的重大的发现。他和笛卡尔（Descartes，1596——1650）各自独立地发明了解析几何学，为微积分奠定了技术基础。在十七世纪的数论领域里他的成果最为丰富，以后数论成为一个正式的抽象数学领域与他的工作密不可分。作为一个谦逊朴实的人，他很少发表文章，但是他与当时很多一流数学家不断通信，并在他的同时代人中有相当的影响力。费马的众多重要的贡献丰富了数学的很多领域，所以被称为“业余数学家之王”。

　　德.梅勒是一位军人、语言学家、古典学者，同时也是一个有能力、有经验的赌徒，他经常玩骰子和纸牌。虽然他不是一个全职的数学家，但他经常从数学的角度提出和思考赌博中出现的一些有深度的问题，“点问题” 就是其中之一。这一次，德.梅勒的问题的形式是：假设两个赌博者（德.梅勒和他的一个朋友）每人出30个金币，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出3次，谁就赢得全部的赌注。在游戏进行了一会儿后，德.梅勒选择的点数“5”出现了2次，而他的朋友选择的点数“3”只出现了一次。这时候，德.梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？德.梅勒的朋友认为，既然掷出他选择的点数的机会是德.梅勒的一半，那么他该拿到德.梅勒所得的一半，即他拿20个金币，德.梅勒拿40个金币。然而德.梅勒争执到：再掷一次骰子，对他来说最糟糕的事是他将失去他的优势，游戏是平局，每人都得到相等的30个金币；但如果掷出的是“5”，他就赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。

　　他们对这一问题的看法和计算方法不一致，为此而争论不休。后来德.梅勒把这个问题告诉了帕斯卡，帕斯卡对此也很感兴趣，又写信告诉了费马。于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信。在通信中，两人用不同的方法正确地解决了这个问题。在1654年7月29日，帕斯卡写给费马的信中，他提到了这个问题和可能的解决方法，“你的解法非常正确，是给我印象最深的一个，但这些组合太过麻烦。我发现了另一种更为简洁的实在可行的解法。”在1654年10月21日他写给费马的信中提到，当他们互不赞同的时候，能这样通信，保持一致是鼓舞人心的。他说：“先生，您的最后一封信让我非常满意，您有关‘点问题’的解法我很钦佩。更是因为我非常理解它完全是属于你的，它与我的解法完全不同，然而却轻易的得到了同样的结果，现在我们又开始和睦了。”在1654年7月和10月的通信中，他们还联系“点问题”思考了其他的问题，比如当两人的技艺不等时，或超过2人参加游戏的赌金的分配问题。尤其是帕斯卡的研究更有效地推动了数学概率理论的发展，他的组合方法具有一般性。他的工作中还蕴涵了概率论中另一重要的思想——数学期望的思想。在十七世纪弥漫着浓重的宗教神学气质的精神环境中，身为神学家的帕斯卡也结合了宗教和数学两种思想于概率的思考中。帕斯卡在他的著作《思想录》中曾经提出一个以“帕斯卡赌注”闻名的问题：“我们既不知道上帝的存在，也不知道上帝的本质。然而我们将倾向于哪一边呢？……，这里进行的是一场赌博，…… 让我们来权衡一下在上帝存在的赌注中的得失。让我们估计这两种可能性，如果你赢了，你赢得所有；如果你输了，你却一无所失。因此，你就不必迟疑去赌上帝的存在吧。”这个论述中已包含了比较明确的数学期望的思想，这种思想成为以后惠更斯（Christian Huggens）和维特（De. Witt）的概率论工作中的一个基本思想，并在以后相当长的时间里在古典概率论的研究中起着重要的作用。

　　帕斯卡和费马正确解决了“点问题”的这一事件被伊夫斯（Howard Eves）称为“数学史上的一个里程碑”。在概率论的历史上，一般的传统观点则把这一事件看作为数学概率论的起始标志。之所以不把卡尔达诺的著作作为概率论的起源的始点，有这样几个原因：在卡尔达诺的著作中只有一小部分内容是处理机会（chance）的计算的。就像卡尔达诺的大多数作品一样，这种处理似乎只是零碎的和模糊的，混杂于卡尔达诺的个人的一些奇闻轶事、哲学思考、大量流行的赌博者常用的欺骗策略和精明的心理应用等建议之中，并且他的这本著作中所阐述的数学思想对数学家和一般的赌徒几乎都没有什么影响。因为对于当时的数学家而言，概率太游戏化了，而对赌徒而言，概率又太数学化了。而帕斯卡和费马的通信除了正确解决了一些问题和概念之外，还创造了一种研究的传统——用数学方法（主要是组合数学的方法）研究和思考机会性游戏。这种传统统治这个领域达半个多世纪的时间。所以，综合考虑所有这些因素，这个事件赢得它在数学概率论的历史中的标志性的地位是当之无愧的。

参考文献：

[1] Deborah J. Bennett, Randomness, Harvard University Press, 1998
[2] Ian. Hacking, 1975, The Emergence of Probability, Cambridge: Cambridge University Press
[3] Osytein Ore, “Pascal and the Invention of Probability Theory”，American Mathematical Monthly, vol.47: 409_19
[4] L. Daston, Classical Probability in the Enlightenment, Princeton[M]. Princeton University Press，1988
[5] 帕斯卡尔，思想录（Pensées），商务印书馆，1997年
[6] Howard Eves著, 欧阳绛等译，数学史上的里程碑, 北京科学技术出版社，1990. pp.228—236
[7] 汪晓勤，韩祥临，中学数学中的数学史，科学出版社，2002年

Appendix: 拉普拉斯概率理论的历史研究 by 王幼军

二十世纪以来，概率论逐渐渗入到自然科学、社会科学、以及人们的日常生活等几乎无所不在的领域中去。无论在研究领域，还是教育领域，它愈来愈成为一门当今最重要的学科之一。于是，对于概率论历史的研究也日益引起科学史学家们的重视。在概率论发展历史上，十八、十九世纪之交法国最伟大的科学家之一拉普拉斯具有特殊的地位，因此他的概率论的工作为众多概率论历史学家所关注。本文在前人工作的基础上，通过对国内外大量概率论历史的研究资料进行分析，结合对拉普拉斯的原始文献的研究，对拉普拉斯的概率理论展开系统研究，并以此为背景探讨我国概率论方面的最早的译著——《决疑数学》的一些历史问题。

第一章 拉普拉斯之前的概率论的历史回顾

主要对拉普拉斯以前的概率论的发展状况做一简单的回顾，力争梳理出早期概率论发展的一个清晰的线索，以及探讨影响概率论发展的几种重要的因素，特别侧重于那些对拉普拉斯本人的工作有着重大影响的人和事件。本章的主要内容如下：

概率论起源于17世纪中叶人们对机会性游戏的数学规律的探讨。这个学科的发展与数学史上一些伟大的名字相联系，如帕斯卡、费尔马、惠更斯、詹姆斯．伯努利、棣莫弗等。他们对这个专题的研究做出了重要的贡献。在十八世纪以前，概率的对象主要限于赌博和一些离散的有限数目集合的研究，所用的数学方法主要是组合数学的方法。十八世纪，伯努利和棣莫弗的著作大大引起了人们对概率论在其它领域的应用的兴趣，例如，用于在观察判断中错误的估计，预测人口组成的改变等，由此吸引了许多纯粹数学家的目光，他们纷纷将更多的数学方法，如分析的方法和几何的方法，引进概率论；另一方面，由于统计学的发展和十八世纪社会和知识氛围的改变，人们对于概率论应用于政治和社会领域中的规律性研究的兴趣日趋浓烈，尤其是在孔多塞等人的倡导下，概率论应用于社会科学的热潮方兴未艾。在这样的一种知识氛围中，拉普拉斯登上了概率论研究的舞台。

第二章 拉普拉斯的概率理论的历史研究

包括两个部分：第一部分对拉普拉斯的《分析概率论》出版之前发表的一些有关概率的论文进行考察。在这个考察中，不仅仅局限于拉普拉斯概率论的技术方面，而从以下几个方面揭示了贯穿于拉普拉斯概率理论发展中的其它因素：首先，拉普拉斯从事概率研究的原动力是受他的决定论的思想所驱使的：概率论是揭示自然科学规律、重建道德科学、证明自然界的先验设计等方面的有效工具。其次，拉普拉斯的概率研究得益于他对概率论历史的深刻理解。他的成果大多受惠于J伯努利、棣莫弗、拉格朗日、达朗贝尔和孔多塞等概率论先驱者的工作：他所研究的每一个概率的问题的解法都可以追溯到他的同时代人或更早的祖先那里去，都有一个名副其实的家谱图，尽管拉普拉斯很少提到这些问题的研究渊源。第三，拉普拉斯的概率论内容具有他那个时代的典型的特征：哲学上的决定论思想与数学工作相混合、十八世纪的分析特性与深奥微妙的科学认识论相结合、个人出人头地的雄心与精湛细致的数学技巧的展示相结合，尤其是十八世纪数学注重应用、轻视逻辑的特点在拉普拉斯的概率论中体现得尤为明显。最后，拉普拉斯的概率论研究中穿插了许多的政治因素，这是法国革命时期的大多数知识分子的主要特点：将政治管理和社会科学也像自然科学一样建立在公正严密的数学基础之上。概率论是接近这个目标的一个主要手段。

第二章的另一部分研究了拉普拉斯的代表作——《分析概率论》。这是本论文的重点之一。1812年首次出版的《分析概率论》标志着概率论历史上的一个重要阶段——古典概率论的成熟。在此书中拉普拉斯综合整理了当时几乎所有已知的概率和统计的问题,汇集了他自己以前概率理论研究的所有成果。在本部分中还依据拉普拉斯的《分析概率论》（第三版）的序言——《概率的哲学探讨》分析了拉普拉斯的概率哲学观点；对卷II的各章的主题内容及其历史发展进行考察研究；由此总结出拉普拉斯的概率理论的主要特点。

第三章 拉普拉斯的概率理论在十九世纪的发展

详细考察了拉普拉斯概率论在十九世纪的发展。拉普拉斯概率理论在十九世纪的概率论发展史上占据了一个中心和统治地位，对十九世纪的概率论的发展产生了极大的影响。在拉普拉斯以后的整整一个多世纪的时间内，概率论甚至统计学的研究都是在拉普拉斯的《分析概率论》的框架内展开的。本章从三个方面考察了拉普拉斯的概率论在十九世纪的发展：拉普拉斯概率论风格的教科书的形成与流行；凯特勒关于拉普拉斯概率论的应用；泊松对拉普拉斯概率理论的继承与发展。

第四章 拉普拉斯概率论在十九世纪的衰落

通过对“拉普拉斯概率论的批评和攻击”、“比安内梅对拉普拉斯概率理论的辩护”以及“公理化概率论的产生”等几个方面的考察，勾画出十九世纪拉普拉斯概率论衰落的一个清晰的历史线索；并从数学史的大背景出发探讨了拉普拉斯概率理论衰落的主要原因：从十九世纪初期开始，数学界正在经历着一场深刻的变革，人们对以往的研究的各个分支的数学理论和研究方法展开了全面的检讨，以重建一种“新的数学”。拉普拉斯的概率论深深地扎根在十八世纪的数学传统中。他对概率论这门学科的理解，以及他对概率论研究的实践和方法等都带有浓重的十八世纪数学的风格特征。他所理解的概率论就是一门自然科学，是一门应用学科，检验它的价值的重要标准是它在实践中的有效应用，而不是其自身的严格和逻辑上的相容。所以对拉普拉斯概率论的检查和批判成为十九世纪拉普拉斯概率论历史的一个重要部分，最终导致其在二十世纪初被建立在测度论基础上的公理化体系的现代概率论所代替。

第五章 拉普拉斯概率论在中国的传播——《决疑数学》探析

以前述几章对拉普拉斯概率理论发展历史的研究为基础，在以下几方面对历史上的第一本拉普拉斯概率风格的中文译著——《决疑数学》进行了深入地探讨。

1． 考察了原来一直有争议的《决疑数学》的原著的问题。通过详细的考证，本文发现《决疑数学》的唯一原著是在《大英百科全书》第八版中托马斯.伽罗威（Thomas Galloway）所作的“概率论”一文，而与原来人们所认为的《钱伯斯百科全书》（新版）中安德森（R. E. Anderson）的文章没有关系。

2． 《决疑数学》原著的确定和发现对于这部著作的研究具有重要意义。借助于托马斯. 伽罗威的原著，本文从拉普拉斯概率论发展的大历史背景出发，全面地论述了《决疑数学》的风格、观点、内容安排、甚至序言中所介绍的背景等。并对前人研究中的一些个别的结论做了修正。

3． 从拉普拉斯概率论发展的大的历史背景出发，重新评价《决疑数学》对中国的概率论发展的影响。借助于概率论史学家O. B .舍宁在评价俄语的第一本拉普拉斯概率论风格的著作《概率数学理论的基础》（1846年）对于俄罗斯的概率论发展的影响时所用的标准，重新评价中文的第一部概率论著作——《决疑数学》。鉴于《决疑数学》中所翻译的大多数概率术语并未保留下来，也没有开创一个概率论研究的传统。近代概率论在中国的传播和发展显然与《决疑数学》并没有一个一脉相承的关系。因此本文得出结论：《决疑数学》对概率论这一学科在中国发展的影响是非常有限的。

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概率论小结:

概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源於十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范筹中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。数学家费马向一法国数学家帕斯卡提出下列的问题：「现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A赢a局﹝a < s﹞，而赌徒B赢b局﹝b < s﹞时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？」於是他们从不同的理由出发，在1654年7月29日给出了正确的解法，而在三年後，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯﹝1629-1695﹞亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论着，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望﹝mathematical expectation﹞这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。

使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各-伯努利﹝1654-1705﹞。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为「伯努利大数定理」，即「在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势」。这一定理更在他死後，即1713年，发表在他的遗着《猜度术》中。

到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其着作《分析杂论》，当中包含了着名的「棣莫弗─拉普拉斯定理」。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和数个数学家建立了关於「正态分布」及「最小二乘法」的理论。另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之後，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。

概率论发展到1901年，中心极限定理终於被严格的证明了，及後数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什麽实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代，人们开始研究随机过程，而着名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献，到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范筹，从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。