| 解读哥德尔不完全定理 |
| 送交者: huzou 2005年07月27日13:55:56 于 [教育学术] 发送悄悄话 |
|
解读哥德尔不完全定理－－胡桢 哥德尔先生的不完全定理问世已有七十多年的历史，鄙人以“解读”之词而谓之，这对于一个业余数学爱好者而言，未免有点过于的狂妄。但是，言过其实的标题确实能吸引不少人的眼球，以此而作为标题，具有一定的实用之价值。鄙人不才，但对于哥德尔先生的不完全定理，却有着与众不同的心得；故而，并不会枉了这“解读”两字。 所谓的哥德尔不完全定理，简而言之，是指：【在任何包含初等数论的相容的形式系统中，存在着不可判定命题，即命题的本身和它的否定在该系统中都不可证。】既然言之为解读，自然并非是意欲否定了该定理，而是在首肯此定理的前提下，予以实例作佐证。但鄙人所举的实例，却与当今的实例大相径庭，是否合乎不完全定理之内涵？须以读者自己的心智来作出判断。 有关不可判定的命题，最为著名的首推连续统假设之命题。由于连续统假设关系到无穷集合的基数问题，是希尔伯特先生的二十三个问题中首选的问题，且哥德尔先生亦曾对其作了较为深入的研究，故而，言之其为最是著名的，并不为过。但据鄙人所知，这连续统假设之命题，却并非是一个不可判定的命题。 我们知道，所谓的连续统假设是指：继可数集的基数阿列夫0之后，阿列夫1是否就是实数集R的基数？用符号表之，为：2^N=ω_1。用2^N来表示实数集R，是因为已有人证明了自然数集N的幂集2^N与实数集R同构。对于实数集R的元素，无论如何，我们也不可能作出书写的；但是，对于自然数集N的幂集2^N的元素，却是可以书写的。如此，我们将书写自然数集N的幂集2^N的元素以作为实数集R的元素而对实数集R作研究。 我们知道，自然数集N的幂集有元素：
当N→∞时，该幂集具有不可数的性质。如果此幂集是可测的，则必须满足Jordan可测集合体的四要素：【Ⅰ 若E1,E2∈T，则E1∪E2∈T；Ⅱ 若E1,E2∈T，则E1∩E2∈T；Ⅲ 若E1,E2∈T，又E1＜E2，则E2-E1∈T；Ⅳ 若E1,E2∈T，E1∩E2=φ，则v(E1∪E2)=v(E1)+v(E2)。】(符号“＜”表示“包含于”)。根据Jordan可测集合体的条件Ⅳ，可知，必须用商集合的概念来划分自然数集N的幂集。所谓的商集合意指对集合X之划分，有：【⑴ A,B∈T→A=B or A∩B=φ， ⑵ {∪A∈T}A=X。】若划分满足这样的条件，则集合中的【任一元素属于且仅属于其中的一个非空子集】如此，则谓之为是按对称关系而对集合所作的等价划分；如果集合的划分满足这样的等价关系，称之为是原集合的商集合。显然，只要按商集合的概念来划分自然数集N的幂集，则该集合就满足Jordan可测集合体之要求。 根据集合论的正则公理，必须有一确定的性质作为划分的依荩辉谧匀皇疦的幂集中，我们以元素中的最小自然数作为划分之依据。如此，我们就可以获得一系列商集化子集：S(1), S(2), S(3), S(4), S(5), S(6), …，其中，S(n)归纳了幂集中最小自然数为n的一些元素。例如，S(1)有元素：
再如，S(2)有元素：
根据康托尔先生的对角线原则，上述诸商集化子集S(n)均是可数的。 我们知道，某集合若有元素s个，则它的幂集就有元素2^s个；自然数集N的幂集也不例外，可用2^N作为其拥有的元素个数之标识。显然，若某集合有元素s-1个，则它的幂集之元素有2^(s-1)个。从2^s-2^(s-1)=2^(s-1)中可知，在原集合中由s-1个元素增加至s个元素，于幂集中就增添了2^(s-1)个元素；也就是说，原集合中任何一个元素在幂集的组合元素中所占有比例为：2^(s-1)/2^s=1/2。但这样的子集彼此间有交集，必须用商集合的概念予以划分。 对自然数集N的幂集中的诸元素，我们以最小自然数n为依据而对自然数集N的幂集中的元素予以商集合划分。根据Jordan测度：【对于每一个S∈U(X)，就有一个非负实数v(S) (0≤v(S)≤∞)与之对应，并且满足以下条件：
从这出现概率上也可以知晓，自然数集N的幂集是可与实数集R同构的。 根据序数中的定义：【对于一序数α，如果存在一个序数β，使得α=β+1，则α称为后继的。对于一个非0的序数，若不是后继的，就称它为极限序数。】且有：【0＜α，α为一极限序数，我们说α的共尾数cf(α)是指最小的序数β，使得存在着一函数f:β→α，具有sup{f(γ)|γ＜β}=α。】若【对于一基数ω_α，如果有cf(ω_α)=ω_α，则称ω_α是正则的；如果cf(ω_α)＜ω_α，则称ω_α为奇异的。】且有：【对于每一序数α，都存在一序数β＞α，使得ω_β是奇异的。】之定理。 在序数理论中，可数的序数按自然数而序，直至无穷，言曰：【ω是一个序数，而且是一个最小的无穷序数。】显然，凡不可数集的基数之序数ω_β皆大于ω，其对于可数集的极限序数ω而言，乃是奇异的。 实数集R的基数是不可数的，无疑，实数集R的极限序数ω_β对于可数集的序数ω而言，乃是奇异的。然而，这样的奇异的序数ω_β是如何地形成的呢？我们知道，自然数集N是可数的，故而，其所有的子集皆是可数的；自然数集N的幂集乃是以自然数集N的子集为元素，却是不可数的。可以肯定，并非是实数集R中的元素按序皆是可数的，而整体实数集R却是不可数的；由可数的变成为不可数的，必定是经历了一个由量变到质变的转化过程。那么，这种质变的转化过程是怎样地产生的呢？答案必须是由实数集R中的内部原因而决定，并不是任何的外因所能定夺的。 从对自然数集N的幂集之商集化中得知，商集化子集S(1)中的元素占全体元素的1/2，那么，其余的诸商集化子集的并∪S(n) n＞1之元素所占的比例也是1/2；如此，商集化子集S(1)中的元素可以与诸商集化子集的并集∪S(n) n＞1中的元素作一一对应。由此可知，对自然数集N的幂集中的元素，我们可以划分为互不相交的却是同构的两个子集合。我们只要对元素中的诸自然数赋予乘法，就能得知，它们彼此都可同构映射于自然数列。例如：
自然数集N的幂集中的元素可划分为两个互不相交却各自都是可数的子集，显然，这种可数的概念仅在可数集的内部进行；换言之，这两个可数的子集彼此间却是不可数的。在数学中，将其中的一个可数的子集称之为有理数集Q，而将另一个可数的子集称之为无理数集。于有理数集Q的极限序数ω而言，无理数集中的元素是不可数的，因为，这个可数集中的元素相对于有理数集Q而言，皆是奇异的，为不可数的。同理，于无理数集的极限序数ω而言，有理数集Q中的元素也是不可数的，因为，这个可数集中的元素相对于无理数集而言，皆是奇异的，为不可数的。若是以点集而论之，那么，有理数集Q与无理数集应该是没有什么区别的；相邻的两者之元素，相赋相成，构筑了点的连续性。只不过，其中的一个点是被人们数了出来，而另一个点人们却数不出来；如此而已。 然而，实数集R是整体的，对于实数集R的极限序数ω_β而言，所谓的共尾序数cf(ω_α)必定不会是实数集R之外的元素。既然可以将实数集R分解为两个互不相交的且都是可数的子集，由此可知，所谓的不可数，乃是继可数的自然序数ω之后，再去数另一个可数集中的序数ω+1、ω+2、…；但这样的序数相对于可数集而言，是奇异的，具有了不可数的性质；因为，它们是分别属于两个不相交的无穷集合。所以，对于实数集R而言，它的基数是不能同构嵌入于其所属的所有的无穷子集之中。 根据可测集合体的四要素，我们完全可以测量出实数集R的元素是由两个互不相交的可数集而构成；且有，所谓的连续统假设并不成立。那么，什么样的集合体是不可判定的呢？以鄙人愚见，素数集高阶幂集的基数，才属于不可判定之范畴。 设有素数集：{2,3,5,7,11,…p,…}，这里的p通过所有的素数。那么，素数集的幂集有元素：
显然，这里所乘出来的自然数，诸素数的指数没有一个是超过1的。同时可知，素数集的幂集之基数并不超越自然数集N，因为，乘出来的皆是自然数，只能是可数集的基数。
同样，对元素中的诸素数赋予乘积，求得诸自然数。显然，这里的元素中素数之组合是有重复的，如，{2,{3,5}}与{3,{2,5}}等。但是，如果我们所求的是素数间的乘积，这种有重复的元素所得到的乃是同一个自然数的值。在这里，素数的指数已经有了2次方。 显然，欲求素数的更高次方，必须于更高阶的幂集中求取，在低阶的幂集中是得不到素数的高次方之自然数的。且有，这样的高阶幂集之阶是无穷的。 如此，我们就遇到了这样的一个问题，素数集的高阶幂集的基数，是否大于可数集的基数？因为，素数集的高阶幂集中的元素，素数的乘积中有着重复的数值，故而，对自然数列的映射是多个元素同态映射于同一个自然数上。但是，素数集的高阶幂集的元素中素数的乘积又不能穷竭自然数集N的元素，无论是多么高阶的幂集，也不能满射于自然数列，总是存在着空缺着的位置。 由此可知，素数集的高阶幂集的基数与可数集的基数作比较，乃是不可判定的。 胡桢写于05-07-25. |
|
|
|
|
 |
 |
| 实用资讯 | |
|
|
|
|
| 一周点击热帖 | 更多>> |
|
|
|
| 一周回复热帖 |
|
|
|
|
| 历史上的今天：回复热帖 |
| 2004: | 也谈我对科研经费分配的一点看法 | |
| 2004: | 质疑“我对科研经费分配以及饶老师的一 | |
| 2002: | 中国人、西方人与素质教育 | |
| 2002: | 【关于北京大学的三大误会】 | |
