應該說二十世紀是數學大發展的世紀。數學的許多重大難題得到了解決，如費爾瑪大定理的證明，有限單群分類工作的完成等，從而使數學的基本理論得到空前發展。 計算機的出現是20世紀數學發展的重大成就，同時極大推動了數學理論的深化和數學在社會和生產力第一線的直接應用。希爾伯特在1900年8月8日於巴黎召開的第二屆世界數學家大會上的著名演講中提出了23個數學難題。希爾伯特問題在過去百年中激發數學家的智慧，指引數學前進的方向，其對數學發展的影響和推動是巨大的，無法估量的。

2000年初美國克雷數學研究所的科學顧問委員會選定了七個“千年大獎問題”， 克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得百萬美元的獎勵。克雷數學所“千年大獎問題”的選定，其目的未必是為了形成新世紀數學發展的新方向，而是集中在對數學發展具有中心意義、數學家們夢寐以求而期待解決的重大難題。

2000年5月24日，千年數學會議在著名的法蘭西學院舉行。會上，1998年費爾茲獎獲得者伽沃斯（Gowers）以“數學的重要性”為題作了演講，其後，塔特（ Tate）和阿啼亞 (Atiyah) 公布和介紹了這七個“千年大獎問題”。克雷數學研究所還邀請有關研究領域的專家對每一個問題進行了較詳細的闡述。克雷數學研究所對“千年大獎問題” 的解決與獲獎作了嚴格規定。 每一個“千年大獎問題”獲得解決並不能立即得獎。任何解決答案必須在具有世界聲譽的數學雜誌上發表兩年後且得到數學界的認可，才有可能由克雷數學研究所的科學顧問委員會審查決定是否值得獲得百萬美元大獎。

這七個“千年大獎問題”是：NP 完全問題，郝治（Hodge） 猜想，龐加萊（Poincare） 猜想，黎曼（Rieman ）假設，楊－米爾斯 (Yang-Mills) 理論, 納衛爾－斯托可（Navier-Stokes）方程，BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想。

“千年大獎問題”公布以來，在世界數學界產生了強烈反響。這些問題都是關於數學基本理論的，但這些問題的解決將對數學理論的發展和應用的深化產生巨大推動（第一個問題就是關於計算機算法的一個基本理論）。認識和研究“千年大獎問題”已成為世界數學界的熱點。

數學領域其他的難題，至少有以下幾個：

第一個是哥德巴赫猜想

哥德巴赫（Goldbach）是德國一位數學家，生於1690年。1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小於6的偶數都是兩個素數（只能被和它本身整除的數）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想：

　　(a) 任何一個>=6之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和。

　　( 任何一個>=9之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。

這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數學家的注意。從哥德巴赫提出這個猜想至今，許多數學家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當然曾經有人作了些具體的驗證工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人對33×108以內且大過6之偶數一一進行驗算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但嚴格的數學證明尚待數學家的努力。

從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀20年代，才有人開始向它*近。1920年，挪威數學家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比36大的偶數都可以表示為（9+9）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們於是從（9+9）開始，逐步減少每個數里所含質數因子的個數，直到最後使每個數里都是一個質數為止，這樣就證明了“哥德巴赫猜想”。

目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理(Chen's Theorem) 。即“任何充分大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。”通常都簡稱這個結論為大偶數可表示為 “1 + 2 ”的形式。

在陳景潤之前，關於偶數可表示為 s個質數的乘積 與t個質數的乘積之和（簡稱“s + t”問題）之進展情況如下：

　　1920年，挪威的布朗(Brun)證明了 “9 + 9”。

　　1924年，德國的拉特馬赫(Rademacher)證明了“7 + 7”。

　　1932年，英國的埃斯特曼(Estermann)證明了 “6 + 6”。

　　1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15 ”和“2 + 366”。

　　1938年，蘇聯的布赫·夕太勃(Byxwrao)證明了“5 + 5”。

　　1940年，蘇聯的布赫·夕太勃(Byxwrao)證明了 “4 + 4”。

　　1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)證明了“1 + c”，其中c是一很大的自然數。

　　1956年，中國的王元證明了 “3 + 4”。

　　1957年，中國的王元先後證明了 “3 + 3 "和 "2 + 3”。

　　1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩(BapoaH)證明了 “1 + 5”，不久，潘承洞和王元又證明了“1 + 4”。

　　1965年，蘇聯的布赫·夕太勃(Byxwrao)和小維諾格拉多夫(BHHopappB)，以及意大利的朋比利(Bombieri)證明了“1 + 3 ”。

　　1966年，中國的陳景潤證明了“1 + 2”。

最終會由誰攻克“1 + 1”這個難題呢？現在還無法預測，不過，王元最近有一個演講，說英國數學家正在繞道探討，但願有希望。

第二個是連續統之謎

（註：文中將阿拉夫零記為alf(0)，阿拉夫一記為alf(1)，依次類推…）　　

由於alf(0)是無窮基數，阿拉夫是有異於有限運算的神奇運算，因而，以下的結果也不足為怪：

　　alf(0)+ 1 = alf(0)
　　alf(0) + n = alf(0)
　　alf(0) + alf(0) = alf(0)
　　alf(0) n = alf(0)
　　alf(0) alf(0) = alf(0)

alf(0)是自然數集的基數。一個無窮基數，只要是可數集，其基數必為alf(0)。由可排序性，可知如整數集、有理數集的基數為alf(0)；或由它們的基數為alf(0)，得它們為可數集。而實數集不可數（可由康托粉塵線反證不可數）推之存在比alf(0)更大的基數。乘法運算無法突破alf(0)，但冪集可突破： = alf(1)。可以證明實數集的基數card(Ｒ) = alf(1)。進而，阿拉夫“家族”一發而不可收：

= alf(2); = alf(3); ……　　

alf(2)究竟有何意義？人們冥思苦想，得出空間所有曲線的數目。但而後的alf(3)，人類絞盡腦汁，至今未能道出眉目來。此外，還有一個令人困惑的連續統之謎：“alf(0)與alf(1)之間是否還存在另一個基數？”

公元1878年，康托提出了這樣的猜想：在alf(0)與alf(1)之間不存在其它的基數。但當時康托本人對此無法予以證實。

公元1900年，在巴黎召開的第二屆國際數學家會議上，德國哥庭根大學教授希爾伯特提出了舉世聞名的23個二十世紀須攻克的數學問題中，連續統假設顯赫的排在第一個。然而這個問題的最終結果卻是完全出人意料的。

公元1938年，奧地利數學家哥德爾證明了“連續統假設決不會引出矛盾”，意味着人類根本不可能找出連續統假設有什麼錯誤。1963年，美國數學家柯亨居然證明了“連續統假設是獨立的”，也就是說連續統假設根本不可能被證明。

哥德爾的工作太重要了，馮.諾依曼就是受他的影響來設計計算機。

第三個是四色猜想

數學史上的三大難題之一，地圖用四種顏色着色。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾大學的兩台不同的電子計算機上，運用每秒計算400萬次的電子計算機，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成為數學史上一系列新思維的起點。

證明方法將地圖上的無限種可能情況減少為1,936種狀態（稍後減少為1,476種），這些
狀態由計算機一個挨一個的進行檢查。這一工作由不同的程序和計算機獨立的進行了復
檢。在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用
了一種類似的證明方法，檢查了633種特殊的情況。這一新證明也使用了計算機，如果由
人工來檢查的話是不切實際的。

不過也有不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。

第四個是幾何的三大問題

平面幾何作圖限制只能用直尺、圓規，而這裡所謂的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺。用直尺與圓規當然可以做出許多種圖形，但有些圖形如正七邊形、正九邊形就做不出來。有些問題看起來好像很簡單，但真正做出來卻很困難，這些問題之中最有名的就是所謂的三大問題。

幾何三大問題是 :

1.化圓為方：求作一正方形使其面積等於一已知圓；

2.三等分任意角；

3.倍立方：求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。

圓與正方形都是常見的幾何圖形，但如何作一個正方形和已知圓等面積呢？若已知圓的半徑為1則其面積為π，所以化圓為方的問題等於去求一正方形其面積為π，也就是用尺規做出長度為 的線段（或者是π的線段）。

三大問題的第二個是三等分一個角的問題。對於某些角如 ，三等分並不難，但是否所有角都可以三等分呢？例如 ，若能三等分則可以做出 的角，那么正18邊形及正九邊形也都可以做出來了（註：圓內接一正十八邊形每一邊所對的圓周角為 ）。其實三等分角的問題是由求作正多邊形這一類問題所引起來的。

第三個問題是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾經記述一個神話提到說有一個先知者得到神諭必須將立方形的祭壇的體積加倍，有人主張將每邊長加倍，但我們都知道那是錯誤的，因為體積已經變成原來的8倍。

這些問題困擾數學家一千多年都不得其解，而實際上這三大問題都不可能用直尺圓規經有限步驟可解決的。

1637年笛卡兒創建解析幾何以後，許多幾何問題都可以轉化為代數問題來研究。1837年旺策爾(Wantzel)給出三等分任一角及倍立方不可能用尺規作圖的證明。1882年林得曼（Linderman）也證明了π的超越性（即π不為任何整數係數多次式的根），化圓為方的不可能性也得以確立。

第五個是費馬最後定理

被公認執世界報紙牛耳地位的紐約時報於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有關數學難題得以解決的消息，那則消息的標題是《在陳年數學困局中，終於有人呼叫“我找到了” 》 。時報一版的開始文章中還附了一張留着長發、穿着中古世紀歐洲學袍的男人照片。這個古意盎然的男人，就是法國的數學家費馬（Pierre de Fermat）（費馬小傳請參考附錄）。費馬是十七世紀最卓越的數學家之一，他在數學許多領域中都有極大的貢獻，因為他的本行是專業的律師，為了表彰他的數學造詣，世人冠以“業餘王子”之美稱，在三百六十多年前的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘數學家戴奧芬多斯的數學書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理。這個定理的內容是有關一個方程式 的正整數解的問題，當n=2時就是我們所熟知的畢氏定理（中國古代又稱勾股弦定理）： ，此處z表示一直角形之斜邊，而x、y為其之兩股，也就是一個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個方程式當然有整數解（其實有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13……等等。費馬聲稱當n>2時，就找不到滿足 的整數解，例如：方程式 就無法找到整數解。

當時費馬並沒有說明原因，他只是留下這個敘述並且也說他已經發現這個定理的證明妙法，只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費馬也因此留下了千古的難題，三百多年來無數的數學家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀難題的費馬最後定理也就成了數學界的心頭大患，極欲解之而後快。

十九世紀時法國的法蘭西斯數學院曾經在1815年和1860年兩度懸賞金質獎章和三百法郎給任何解決此難題的人，可惜都沒有人能夠領到獎賞。德國的數學家佛爾夫斯克爾（P·Wolfskehl）在1908年提供十萬馬克，給能夠證明費馬最後定理是正確的人，有效期間為100年。其間由於經濟大蕭條的原因，此筆獎額已貶值至七千五百馬克，雖然如此仍然吸引不少的“數學痴”。

二十世紀電腦發展以後，許多數學家用電腦計算可以證明這個定理當n為很大時是成立的，1983年電腦專家斯洛文斯基藉助電腦運行5782秒證明當n為286243-1時費馬定理是正確的（注286243-1為一天文數字，大約為25960位數）。

雖然如此，數學家還沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數學懸案終於解決了，這個數學難題是由英國的數學家威利斯（Andrew Wiles）所解決的。其實威利斯是利用二十世紀過去三十年來抽象數學發展的結果加以證明的。

50年代日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲現的猜想，後來由另一位數學家志村五郎加以發揚光大，當時沒有人認為這個猜想與費馬定理有任何關聯。在80年代德國數學家佛列將谷山豐的猜想與費馬定理扯在一起，而威利斯所做的正是根據這個關聯論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的，進而推出費馬最後定理也是正確的。這個結論由威利斯在1993年的6月21日於英國劍橋大學牛頓數學研究所的研討會正式發表，這個報告馬上震驚了整個數學界，就是數學門牆外的社會大眾也寄以無限的關注。不過威利斯的證明馬上被檢驗出有少許的瑕疵，於是威利斯與他的學生又花了十四個月的時間再加以修正。1994年9月19日他們終於交出完整無瑕的解答，數學界的夢魘終於結束。1997年6月，威利斯在德國哥庭根大學領取了佛爾夫斯克爾獎。當年的十萬法克約為兩百萬美金，不過威利斯領到時，只值五萬美金左右，但威利斯已經名列青史，永垂不朽了。

要證明費馬最後定理是正確的（即 對n>3 均無正整數解），只需證 和 (P為奇質數)都沒有整數解。

第六個是七橋問題（一筆畫問題）

當歐拉（Euler）在1736年訪問Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)時，他發現當地的市民正從事一項非常有趣的消遣活動。Konigsberg城中有一條名叫Pregel的河流橫經其中，在河上建有七座橋。這項有趣的消遣活動是在星期六作一次走過所有七座橋的散步，每座橋只能經過一次而且起點與終點必須是同一地點。Euler把每一塊陸地考慮成一個點，連接兩塊陸地的橋以線表示，後來推論出此種走法是不可能的。他的論點是這樣的：除了起點以外，每一次當一個人由一座橋進入一塊陸地（或點）時，他（或她）同時也由另一座橋離開此點。所以每行經一點時，計算兩座橋（或線），從起點離開的線與最後回到始點的線亦計算兩座橋，因此每一個陸地與其他陸地連接的橋數必為偶數。七橋所成之圖形中，沒有一點含有偶數條數，因此上述的任務是不可能實現的。