摘要：罗素悖论定义的“x不属于x”有着明显的错误：1，不是按照“种加属差”的正确方法定义x。2，不是按照“不能采用否定判断的定义”。3，“x不属于x”的定义违法了同一律。并且两次定义“一切”违反了同一律。4，语法错误，“x不属于x”，前面x是主语，后面x是谓语，前面主语x是“谁”“什么”，后面谓语x“是什么”，“不是什么”。

关键词：悖论，定义。

                             一，前言

   英国人勃兰特.罗素（Betrand Russell1872—1970）是二十世纪西方哲学界大师，年轻时曾经用10年时间完成三卷【数学原理】，后由数学进入哲学，到了孔子说的从心所欲而不逾矩的年龄，写完【西方哲学史】。作为数学家哲学家的罗素在二战后为什么获得诺贝尔奖文学奖？西方人通常按照地缘政治的角度解释战争，拿破仑打过来脾斯麦打过去，战争、联姻...无休止的干下去。直到二战结束，人们经过奥斯维辛集中营、达豪之后，饱受蹂躏的欧洲人忽然明白，正是罗素预言的那样——潜藏在人性中的邪恶才是灾难的起因。罗素在他的著作中早有分析和预言，战后幸存者读起来无不心悦诚服。罗素的文笔非常漂亮，文风优美，就连一部【西方哲学史】写得跟聊天似得，于是斯德哥尔摩的文学老爷们找到了理由。罗素的故事永远谈不完，我们就此停笔。而这个疯子（实际上是个逻辑学白痴）给数学造成的麻烦形成了100年的恐慌，我们今天揭穿这个数学......。

                            二，罗素悖论

      罗素1903年构造了一个集合R，设R 为一切不属于自身元素的集合所组成的集合（作者附言：这是第一次定义“一切”）。

     罗素问：

      R是否属于R？（【中国大百科全书-数学】19页）。

     实际上罗素提出的是两个命题：

【1】，R是属于R。 

【2】 ，R不是属于R。

   根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。

   如果命题【1】的  R属于R，根据R的定义，R就不属于R（作者附言：如果“R就不属于R”，这里包含了第二次定义“一切”，“一切”的外延又扩大了）; 

反之，如果命题【2】的   R不属于R，同样根据定义，R就属于R。

无论如何都是矛盾的。

    用数学语言表述罗素悖论:   设性质P(x)表示“x不属于x”，现假设由性质P确定了一个类R，也就是说  “R={x |x ∉x }”。

                      三，问题出在罗素不懂什么叫定义

1，什么是定义

定义(Definition)，对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明；或是透过列出一个事件或者一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义;被定义的事务或者物件叫做被定义项，其定义叫做定义项。

2，罗素悖论定义中的错误

首先，罗素没有按照“种加属差”的正确方式定义概念（参见后面介绍的定义规则1）。

其次，在人类所有的科学语言中，从来没有用否定的语言定义一个“普遍概念”。用否定判断来定义“x不属于x”的性质，是荒唐的。（参见定义规则第3条：不能够用否定的判断定义一个概念。比如说“人不属于狗”，这样说毫无意义，或者定义：“危险就是不安全”，“素数不是合数”等是没有意义的）。

就是说，罗素的悖论在语法上是错误的。

3，违反了同一律

同一律是形式逻辑的基本规律之一，就是在同一思维过程中，必须在同一意义上使用概念和判断，不能混淆不相同的概念和判断。公式是:"甲是甲"或"甲等于甲"。同一律是形式逻辑的基本规律之一，就是在同一思维过程中，必须在同一意义上使用概念和判断，不能在不同意义上使用概念和判断。

“x不属于x”就是违反了同一律。

并且，罗素悖论对“一切”这个全称副词的概念做了两次定义，第一次定义是：

“设R 为一切不属于自身元素的集合所组成的集合”。第二次定义是在回答第二个命题：“R不属于R，同样根据定义，R就属于R”。两次定义中采用了不同的范围，随意任意扩大“一切”的范围，第二次定义的“一切”否定了第一次定义“一切”的范围，增加了一个元素，属于偷换概念。

同一律这一基本内容可以用公式表示为:A=A(或"A→A")

其主要表现在三方面:

(1)思维对象的同一。在同一个思维过程中，思维的对象必须保持同一;在讨论问题、回答问题或反驳别人的时候，各方的思维对象也要保持同一。如果“x不属于x”就无法进行合乎逻辑的讨论。

(2)概念的同一。在同一个思维过程中，使用的概念必须保持同一;在讨论问题、回答问题或反驳别人的时候，各方使用的概念也要保持同一。

(3)判断的同一。同一个主体(个人或集体)在同一时间(相应的客观事物处于相对稳定状态时)，从同一方面对同一事物作出的判断必须保持同一。同一律要求思维的确定性，但是并不否认思维的发展变化。它完全是对思维过程说的，并不要求客观事物保持同一，绝对不变。

逻辑的“同一律”方面的内容中，应该包括“同一立场”和“同一时空的范围”在里面。

根据同一律的要求，违反同一律的逻辑错误有两种:混淆概念或偷换概念，转移论题或偷换论题。

 四，什么是形式逻辑学中用“种加属差”（或者称之为“上概念加下概念差”）的方法给认识对象下定义

       “种加属差”定义法：当我们对一个概念——比如“素数”下定义时，首先要找到与这一概念最近的“种概念”（或者称之“上概念”）——自然数，然后我们就可以说“素数是一种自然数。”了。但仅仅这样说是不完整的。我们还必须找出“素数”这一“属概念”（或者称之为下概念），和“自然数”这一“种概念”的其它“属概念”（合数，1）之间的“差异”（属差）来，“素数”与“合数和1”之间的“属差”是什么呢？是“只能被自身和1整除”，从而我们得出“素数是大于1并且只能被自身和1整除的自然数”。这一完整定义。

五，定义的规则：

1】，种概念和属概念的外延要相称。比如：你不能说“人是一种能制造生产工具的生物”，这就犯了“外延过宽”的逻辑错误，因为生物还包括植物。

 2】，不能够循环定义。比如，你不能说“蛋就是卵”。因为你也可以反过来说“卵就是蛋”，结果是谁也说明不了谁。

3】不能够是否定的判断。比如说“人不是狗”，“素数不是合数”这样说毫无意义。

4】“属差”应尽可能详细确切。比如，关于人的定义最好这样说：“人是能制造复杂生产工具的动物”。

西方逻辑学对于定义还有另外两条规则：

5】定义不能是晦涩的、歧义的、或者比喻性的。

6】定义项不适合相关背景或者目的的外延是有缺陷的。

    例如，“7是一个星期当中的天数”，因为事实上一个星期有7天，所以定义项是正确的外延，但是，这个定义没有涉及到与既定用法联系在一起的属性“比6多1”。一个人不需要知道一个星期有几天就可以知道7的一般意义。作为一个理论定义，上述定义是有缺陷的。因为没有挑出6与8之间的所有数字。

   再例如，“三角形是我喜欢的几何图形”。因为“三角形”的确是我喜欢的几何图形，以这个定义适用于正确的外延。但是，“是我喜欢的几何图形”这一属性并不适合于形成一个词汇定义的背景。三角形的背景是：有三条边或者有三个角的一个封闭的平面图形。

     所以，罗素定义“x不属于x”是错误的，违反了定义规则。

不能使用否定的判断。语法错误导致逻辑错误。

       六， 命题【1】【2】都是荒唐的

【1】，R是属于R。 

【2】 ，R不是属于R。

 前面的“R”是主项，后面的“R”是谓项。

主语表示“谁”或者“什么”，

谓语说明“是什么”“不是什么”或者“怎么样”。

    一个命题要求所有的概念，定义，图像，函数没有歧义，清晰准确。在R涵义不清楚的情况下，命题是无法证明的。罗素悖论是科学史上一次拙劣的闹剧。

      作为一个单句，要表现完整的意思，就必须清楚主语和谓语的关系。“R是否属于R”是一个荒唐的闹剧。对于一个句子，语义要贯通，层次要分明，语气要流畅，句式要谐调。

数学的上面是逻辑学，逻辑学的上面是语言学。就是说，在学科的“食物链”，逻辑学站在数学的上端，语言学站在逻辑学的上端。所以，数学必须屈服于逻辑学，逻辑学必须屈服于语言学。

所以说，罗素悖论造成的数学危机不存在，是由于数学家的逻辑知识匮乏造成的。也说明罗素本人不懂逻辑学，至少是不精。