已知y= 97x^2 + 89

y是个完全平方数，求正整数x的最小值。

试解：

y= 97x^2 + 89

y= 9^2x^2 + 4^2x^2 + 8^2 + 5^2        (1)

试图将(1)配方，写成

y= 9^2(x+d)^2                           (2)

如果(2)的形式是正确的，比较(1),(2),

4^2x^2 + 89一定能被81整除。

4^2x^2 + 89= 4^2x^2 + 8 + 81

4^2x^2 + 8一定能被81整除。

2x^2 + 1一定能被81整除。有

2x^2 = 81q-1                  (3)

2x^2 = 81q2+80

x^2 = 81q2+40               (4)

(x/9)(x/9)=q2+40/81

令x=9+k, 枚举k，当k=2时，满足(4)。

x=11满足(4)。

代入(1), x=11不是解。要找到其他解。

应用一个定理：如果n^2除以m的余数是R，那么（n(m-1))^2, (n(m+1))^2除以m的余数也是R。

这样，

x=11(80)^n, 11(82)^n都是(4)的解。

用11(80)代入(1)结果是完全平方数，所以880是问题的的一个解。