《有關素數的猜想：從歐幾里得到朗道-西格爾》

（張益唐有關朗道-西格爾零點猜想的論文已經上線，下面是我之前寫的一篇文章，供感興趣的讀者參考。link to YouTube視頻）

最近網上熱傳美籍華裔數學家張益唐宣布的一個消息：據說他已經攻克了與黎曼猜想相關的朗道-西格爾零點猜想。這個消息引起了數學界的震動。因為我之前曾經介紹過黎曼猜想、哥德巴赫猜想，以及張益唐對孿生素數猜想的工作，此文便結合朗道-西格爾猜想，簡要總結一下這幾個“數論”猜想的來龍去脈以及它們之間的關係。

素數是數論的研究對象，指的是只能被1和它自身整除的大於1的自然數。素數有無限多嗎？分布情況如何？這些貌似簡單的素數問題對數學家而言卻魅力無窮。並且，這些簡單問題牽涉甚廣，素數分布問題的研究涉及到許多領域，推進了數學研究多方面的發展。

1，素數無限多嗎？

首先列出幾個後面要用到的、與素數有關的簡單結論。

歐幾里得

有關素數的第一個猜想應該是兩千三百多年前的歐幾里得提出的“素數無限多”的命題。並且，歐幾里得自己給出了最簡單的證明，用的是反證法。此外，古希臘還有一個在n不大的情況下實用的埃氏篩法，可以簡單地把不大於根號n的所有素數的倍數剔除，從而“篩出”自然數n以內的全部素數，見下圖。

圖1：a）證明“素數無窮多”的反證法；b）埃氏篩法（n=18）

歐拉乘積公式

歐幾里得之後差不多過了兩千年，偉大的數學家歐拉（1707-1783）對素數問題作了很多工作，包括證明素數無限多，研究與素數分布相關的種種問題。例如，歐拉曾經研究如下的無窮級數：

                                                            （1）

這個級數實際上是s的函數，後來被稱為ζ函數。歐拉一開始自然先考慮s為正整數的情況：當s=1時，得到的是我們熟悉的不收斂的調和級數；如s>1，級數收斂，比如：s=2，是歐拉解決的巴塞爾級數，無限項求和結果是p²/6。

歐拉固然是天才，他將調和級數的發散性與“素數無限多”的問題聯繫起來！歐拉得到一個驚人的結論：所有素數的倒數之和，類似於調和級數一樣地發散。

 。     （2）

證明了上面的結果，也就證明了“素數無限多”，因為有限的序列之和不可能發散。

歐拉由此開始，通過研究ζ函數來研究質數，居然得到兩者的神奇關係：ζ函數等於一個與所有質數相關的乘積！歐拉得到下面這個看起來有點奇怪的“歐拉乘積公式”：

                                     （3）

等式左邊的符號是與自然數n的冪次倒數有關的無窮求和，而右邊的符號是遍歷所有素數p的一個無窮乘積。這個公式通過複數s，將自然數n（n=1，2，3，4，5等）與素數p（p=2，3，5，7，11等）聯繫起來。

從歐拉乘積公式，也可以間接地證明存在無窮多個素數。

素數定理

如上所述，已有多種方法證明素數有無窮多個。但是，素數的出現規律卻一直困惑着數學家。一個個地看，素數在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素數的個數竟然有規可循。

我們對付素數最笨的辦法就是把它們從小到大一個一個列出來，如上圖所示，列出了比100小的所有素數，的確看不出什麼規律。然後，我們又想出一個笨主意：計數！數數看小於某一個數的素數有多少個？例如：小於10的素數有4個；小於20的素數有8個；小於50的素數有15個……

於是，數學家為此定義了一個函數，叫做素數計數函數，記作π(x)，也就是說：π(10)=4；π(20)=8等等，可以一直估算下去。更進一步，可以把函數的圖像畫出來：

圖2：素數計數函數

從π(x)的函數圖，倒是研究出了一些素數個數增長的整體規律，稱為“素數定理”：

                                              （4）

上式是素數定理的粗略表達式。其中 ln x 為 x 的自然對數，公式的意思是當 x 趨近無限，π(x)與x/ln x的比值趨近 1。但這不表示它們的數值隨着 x 增大而接近。

素數分布的lnx倒數形式首先由歐拉猜想，勒讓德最後得到素數定理。50年後，高斯在一封信中說他在少年時代就猜出了這個結果，所以素數定理也叫勒讓德-高斯定理。

2，黎曼猜想

高斯比歐拉要晚生70年，黎曼（1826－1866）是高斯的學生，可惜早逝於39歲，他思想深刻成果纍纍。據說當年高斯想試試黎曼到底有多聰明，讓他從分析轉做幾何，沒想到黎曼一上手便出人意料地創立了黎曼幾何。之後，黎曼又繼續歐拉沒有完成的ζ函數研究素數問題。

黎曼首先將歐拉的ζ函數（1）解析延拓到幾乎整個複平面（除了s=1）。解析延拓的意思就是說將函數的定義域解析地擴大到原來不能應用的數域，即對所有的複數s，ζ函數都有定義，在S等於1的地方有一個不解析的、留數等於1的簡單極點。解析延拓後的ζ函數叫做“黎曼ζ函數”。

黎曼ζ函數與素數有直接聯繫，根據歐拉乘積公式（3），當實部大於1時，它是一系列自然數冪次的倒數和，同時又是與所有素數有關的某種乘積。因此，通過對黎曼ζ函數的研究會得到很多素數方面的信息。例如素數定理（4），就是在1986年通過對黎曼ζ函數的研究而第一次被證明的。關於素數更精確的信息在於進一步對黎曼ζ函數零點的研究。

黎曼發現素數出現的頻率與黎曼ζ函數的零點分布緊密相關。因此，黎曼研究ζ函數的零點分布。

1859年黎曼當選為柏林科學院通訊院士，他提交八頁紙論文回應：《論小於某值的素數個數》，在文章中提出了黎曼猜想。這個猜想是數論中與素數相關至今未解的重要難題。

圖3：黎曼ζ函數，將歐拉ζ函數解析延拓到整個複數平面

黎曼注意到ζ函數的零點有兩種。當s=-2、-4、-6、-8…（負偶數）時，是平凡零點，黎曼稱其他零點為非平凡零點，素數頻率與非平凡零點有關。非平凡零點到底在哪裡呢？這個問題如此複雜，黎曼也沒有準確的結論，因此他提出如下的“黎曼猜想”卻沒有證明。

黎曼猜想：所有的這些非平凡零點都在實部等於二分之一的那條垂直線上。

貌似輕鬆平淡的一個猜想，令無數數學家們努力到如今，已經163年過去仍未解決，但也有所進展。從進展過程能看出這個問題的重要性、黎曼的深厚功夫和超凡的能力

黎曼論文有三個命題。1，非平凡零點實部大於0但小於1；2，所有非平凡零點幾乎都位於實部為1/2的直線上；3，黎曼ζ函數的所有非平凡零點都位於實部為1/2的直線上。

數學家46年後才對黎曼認為顯而易見的第一命題給出證明；黎曼表示自己證明了第二命題，但沒有簡化到可以發表，然而迄今為止，第二第三命題都沒有被證明出來；人們也試圖尋找具體的非平凡零點，仍然十分困難。猜想公布44年後，數學家第一次算出了前15個非平凡零點，又過了20年，算出了前138個零點，數學家西格爾在黎曼手稿中發現了73年前黎曼計算非平凡零點的一個公式（黎曼-西格爾公式）。西格爾找到這個公式後，4年內算出了1000多個非平凡零點。現在，數學家用這公式及計算機，驗證了超過前200億個非平凡零點。迄今找到的所有零點，實部全部都是0.5，無一例外。

3，張益唐和孿生素數猜想

張益唐最近宣稱的進展，便與上述的黎曼猜想密切相關。在介紹他在黎曼猜想的工作之前，先介紹他幾年前有所突破的另一個素數問題：孿生素數猜想。

什麼叫孿生素數？就是兩個素數相差2，例如3和5；5和7等等，兩千年前的歐幾里得就證明了素數的個數是無窮多，同時，歐幾里得也思考：孿生素數是否也有無窮多呢？歐幾里得猜想是無窮多，但他沒有給出證明，這就是孿生素數猜想！

“有無窮個素數對(p1, p2)，滿足p1-p2=2”

圖4：孿生素數猜想

張益唐是曾在中國受數學教育的美籍華人，他迷戀素數卓爾不群、橫空出世一鳴驚人。張益唐的學術道路坎坷成為傳奇，博士畢業後未得教職，打工七年曆經艱辛：送外賣端盤子也做過會計，最後在一個小學校教數學方能掙口飯吃，唯有滿腦袋的奇思妙想不忘初心探索孿生素數問題。58歲時終於大器晚成作出重大成績“十年窗下無人問，一舉成名天下知”

張益唐並沒有完全解決孿生素數猜想，他證明了什麼呢？為了理解張益唐的結果，首先，可以把孿生素數猜想寫成：“存在無窮多個差值等於   2  的素數對”；

而張益唐證明的是：“存在無窮多個差值小於7000萬的素數對”

也就是說，張益唐證明的是比原來猜想更 “弱”一點的命題。原來命題中的差距是2，但這個差距可以放寬，比如將間隔放寬到4，或者100、1000。張益唐的工作意味着：如果將間隔放寬到7000萬，他就證明出來了。然後呢？然後可以再減小間隔縮小包圍圈，如果能一直縮到2，就證明了原來的猜想！

以上是這種方法的思路。不過，比較一下這兩個結論，你可能感到吃驚：7000萬  vs 2，還差十萬八千里呢！

的確如此，但在張益唐這個結論之前，這個問題還沒有上限，即上限是無限大。而張益唐將無限大用有限數7000萬 代替，是里程碑式的進步。後來，陶哲軒等將此上限不斷降低，張益唐提交證明之後，上限已降至246。

4，狄利克雷L函數

除了研究自然數中的素數分布之外，也有數學家研究算術（等差）級數中包含的素數。因為大於 2 的素數都是奇數，所以，等差數列 {1+2k，k=1, 2, 3…} 中包括了除了2之外的所有素數，換言之，上面等差數列中包含了無窮多個素數。德國數學家狄利克雷（1805—1859）的“狄利克雷定理”，說的就是關於算術級數中的素數問題。狄利克雷最早將解析的方法用於解決數論問題，稱為解析數論。狄利克雷等在解析數論領域，發展了一整套工具去研究某些函數的零點問題，應用於哥德巴赫猜想、孿生素數猜想等，也用於關於素數分布等問題上。為了證明“狄利克雷定理”，狄利克雷1837年引進了狄利克雷L函數。

狄利克雷L函數可以看作是黎曼ζ函數的推廣：

比較黎曼ζ函數而言，狄利克雷L函數將求和中的每一項都乘了一個c (n)，稱為狄利克雷特徵。

狄利克雷特徵c (n)有下列性質：

1， 存在正整數k使得對於任意n都有χ(n) = χ(n+k)；

2， 對於任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n)

3， χ(1)=1

第一條說明c (n)是以k為周期循環的；第二條說明它是積性函數；第三條給出的c (1)=1時，狄利克雷L函數成為黎曼ζ函數，保證了L函數的確是ζ函數的推廣。用更為通俗的話來說：滿足這三條性質的狄利克雷特徵是一組函數c (n)，函數的定義域是自然數，值域可以被限制在只有三種可能：0, 1和-1。

因此，狄利克雷L函數與黎曼ζ函數不同的是，後者是一個函數，前者是一組（可以有無窮多個）函數，其中的一個特殊情況：狄利克雷特徵全為1時，便簡化為黎曼ζ函數。黎曼函數是狄利克雷L函數的特殊情況，也是最簡單的一個情況。

狄利克雷L函數與黎曼ζ函數許多方面相似，可以互相對應。比如，狄利克雷L函數的零點也有平凡與非平凡之分，非平凡零點也全都位於0＜Re（s）＜1的帶狀區域（即臨界帶）內。對應於黎曼ζ函數的黎曼猜想，對應地便有狄利克雷L函數的廣義黎曼猜想。

5，廣義黎曼猜想

由於狄利克雷L函數是黎曼ζ函數的推廣，因此廣義黎曼猜想顯然是黎曼猜想的推廣。

黎曼猜想：黎曼ζ函數的所有非平凡零點都位於複平面上Re(s) = ½的直線上。

廣義黎曼猜想：狄利克雷L函數的所有非平凡零點都位於複平面上Re(s) = ½的直線上。

如果證明了廣義黎曼猜想，也就證明了黎曼猜想，反過來不成立。

原來對ζ函數的歐拉乘積公式（3）：

對狄利克雷L函數，應該寫成：

    （5）

研究狄利克雷L函數的零點分布，不僅對於破解廣義黎曼猜想和黎曼猜想有用，也可能對解決哥德巴赫猜想和孿生素數猜想等都有所幫助。

6，朗道-西格爾零點問題

黎曼猜想和廣義黎曼猜想都尚未被證明，但大多數的數論學家都認為猜想是成立的，即ζ函數或L函數的所有非平凡零點都位於複平面上實部等於 ½的直線上。朗道（1877-1938）和西格爾（1896-1981），是兩位德國數學家，朗道是西格爾的導師。他們對狄利克雷L函數的非平凡零點進行了深入的研究，發現滿足特殊性質時其對應的L函數可能出現位置異常的零點，難以避免。位置異常的意思是說，這種可能的零點不是位於實部1/2的那條直線上，而是在非常靠近1的地方。這種零點就被稱為朗道-西格爾零點（或西格爾零點）。不過，他們也證明了對於狄利克雷L函數，這樣的零點頂多只有一個，實部很接近1。

也就是說，“朗道-西格爾零點”被定義為廣義黎曼猜想的反例，而斷言此類零點不存在的猜測就被稱為朗道-西格爾猜想。

如果這個朗道-西格爾零點真存在的話，廣義黎曼假設就錯了，所以事實上，數學家們努力探索西格爾零點問題，就是企圖證明這樣一個零點不存在。

目前，張益唐的論文尚未上線，不知道他是證明了西格爾零點存在還是不存在？一般估計應該是不存在，否則就否定了廣義黎曼猜測，實在太難以想象！當然，即使論文發表了，正確與否，能否得到同行的接受，還需要長長的審核時間。但不管結果朝向哪個方面，都將是令人興奮值得期待的重大突破。