縱觀整個20世紀的數學史，蘇俄數學無疑是一支令人矚目的力量，百年來，蘇
俄湧現了上百位世界一流的數學家，其中如魯金，亞歷山德羅夫，柯爾莫戈羅夫，
蓋爾范德，沙法列維奇，阿洛爾德等都是響噹噹的數學大師。而這些優秀數學家則
大多畢業於莫斯科大學，莫斯科大學所湧現的優秀數學家其數量之多，質量之高，
恐怕除了19世紀末20世紀初的哥廷根大學，在20世紀就再也沒有那個大學敢與之相
比了，即使是赫赫有名的普林斯頓大學也沒有出過這麼多的優秀數學家，莫斯科大
學是當之無愧的世界第一數學強校。對於莫斯科大學，我們是既熟悉又陌生，說熟
悉是因為，中國大學的數學系都多少受了莫斯科大學的影響，我們曾經長期學習莫
斯科大學的數學教材，做莫斯科大學的數學習題集，直到現在許多數學專業的學生
還在做各種莫斯科大學編寫的習題集，如在下我，就曾經做過吉米多維奇的《數學
分析習題集》，巴赫瓦洛夫的《解析幾何習題集》，普羅斯庫列科夫的《線性代數
習題集》，法傑耶夫的《高等代數習題集》，菲力波夫的《常微分方程習題集》，
沃爾維科斯基的《複變函數習題集》，符拉基米羅夫的《數學物理方程習題集》，
費堅科的《微分幾何習題集》，克里洛夫的《泛函分析——理論·習題·解答》，
捷利亞科夫的《實變函數習題集》。說陌生的因為，莫斯科大學有很多方面和中國
大學大相徑庭。那麼莫斯科大學成為世界數學第一強校奧秘何在？我很幸運我家裡
有親戚，曾於80年代公派到莫斯科大學數學力學部讀副博士（相當於美國的博士），
又有熟人正在莫斯科大學數學力學部讀副博士。從中了解到莫斯科大學數學學科的
具體情況，特地把這些都發在BBS上，讓大家看看，世界一流的數學家是如何一個一
個的從莫斯科大學走出的，
鄧小平有句話說足球要從娃娃抓起，莫斯科大學則是數學要從娃娃抓起，每年
暑假，俄羅斯各個大學的數學力學部和計算數學部（俄羅斯的大學沒有我們這樣
的數學系或者數學學院，如莫斯科大學，有18個部和2個學院，和數學有關的是數
學力學部和計算數學與自動控制部，數學力學部下設數學系和力學系，其中的力
學系和我國的力學系大不相同，倒接近於應用數學系，計算數學與自動控制部包
括計算數學和自動控制2個系，計算數學系和我國的信息與計算科學專業+計算機
科學專業相當，自動控制系接近於我國的自動化，但是數學學的很多，前2年是和
數學力學部及計算數學系一起上課，第3年和計算數學系一起學計算數學方面的課
程，到大四大五才單獨上專業課）都要舉辦數學夏令營，凡是喜歡數學的中小學
生都可以報名參加，完全是自願的，由各個大學的數學教授給學生講課做數學方面
的講座和報告。莫斯科大學的數學夏令營是最受歡迎的，每年報名的人都是人滿為
患，大家都希望能一睹數學大師們的風采，聽數學大師講課，做報告，特別是蘇聯
著名的數學家柯爾莫哥羅夫和維洛格拉托夫，吉洪洛夫（蘇聯有了微型電子計算機
後，吉洪洛夫經常在夏令營里教人玩計算機）幾乎每年都參加夏令營的活動。
數學夏令營和我國的奧數班不同，他的目的不是讓學生參加什麼競賽，拿什麼
獎，而是培養學生對數學的興趣，發現有數學天賦的學生，使他們能通過和數學家
的接觸，讓他們了解數學，並最終走上數學家的道路。
在柯爾莫哥羅夫的提議下，從70年代開始，蘇聯的各個名牌大學大多舉辦了科
學中學，從夏令營中發現的有科學方面天賦的學生都能報名進入科學中學，由大學
教授直接授課，他們畢業後都能進入各個名牌大學。其中最著名的當屬莫斯科大學
的柯爾莫哥羅夫科學中學，這所學校從全國招收有數學，物理方面天賦的學生，完
全免費。對家境貧寒的學生還發給補助，儘管莫斯科大學現在經濟上困難重重，但
這點直到現在都沒變。事實上科學中學的學生成才率相當高，這點是有目共睹的，
到80年代末，90年代初，已經有幾個當年的柯爾莫哥羅夫科學中學的學生成了科學
院院士。
中國的大學，近年來常爆出招生中走後門的醜聞，其實以前就有高乾子弟，成
績不好，居然能進名牌大學的事情，象50-60年代的北京大學，科技大學，清華大
學都有這樣的學生，南京大學當年被院系調整搞得亂七八糟，從當家老大變成二流
重點大學，不像現在，大概沒那個中央領導的子弟看的上，估計這樣的學生是沒有
的。反觀莫大，那可是非靠硬功夫進不去的，就算你是蘇共總書記的兒子也一樣。
莫大敢如此硬氣，其實是靠其前校長彼得羅夫斯基（我們對這位大數學家不會
陌生吧！）利用擔任最高蘇維埃主席團副主席（其實就是蘇聯的副總統）以及和蘇
共的各個高級官員的良好關係爭來的尚方寶劍有關，蘇聯有明確規定，包括莫大在
內的幾個名牌大學招生只認水平不認人（其它大學，高級官員的子女同等條件優先
），必須是擇優錄取。莫大的生源好，和蘇聯的整體基礎教育水平高也有關，蘇聯
有一點值得中國學習，蘇聯的中小學的教學大綱和教材都是請一些有水平的科學家
編寫的，像數學就是柯爾莫哥羅夫和吉洪洛夫，龐特里亞金寫的，而且蘇聯已經把
微積分和線性代數，歐氏空間解析幾何放到中學教了。大學的數學分析，代數，幾
何就可以在更高的觀點上看問題了（其實和美國的高等微積分，初等微積分的方法
相似）。
有一流的生源，不一定能培養出一流的數學家，還必須要有嚴謹的學風。莫大
的規定相當的嚴格，必修課，一門不及格（不過政治和體育除外，政治是因為學校
在這方面睜一隻眼閉一隻眼，純粹是給上面看的），留級，兩門不及格，開除，而
且考試紀律很嚴，作弊簡直是比登天還難！莫大的考試方法非常特殊，完全用口試
的方式。主課如數學分析或者現代幾何學，物理學，理論力學之類，一個學期要考
好及次，像數學分析，要考7-8次，考試一般的方法如下：考場裡有2-3個考官考一
個學生，第一個學生考試以前，第二個學生先抽籤（簽上就是考題），考試時間一
般是30-45分鐘，第一個考試的時候，第二個在旁邊準備，其他人在門外等候進，
考生要當場分析問題給考官聽後，再做解答。據稱難度遠大於筆試，感覺像論文答
辯。
不過莫大有一點是挺自由的，就是轉專業，這一般都能成功，像柯爾莫戈羅夫
就是從歷史部轉到數學力學部，這是盡人皆知的。
中國的數學專業往往是老師滿堂灌，學生下面聽，最糟糕的是有的老師基本是
照本宣科，整一個讀書機器。莫大的老師上課，基本不按教學大綱講課（其實教
學大綱也說教師在滿足大綱的基本要求的情況下，應當按自己的理解講課），也
沒有什麼固定的教材，教師往往同時指定好幾本書為教材，其實就是沒有教材，
只有參考書！而且莫大的課程都有相應的討論課，每門課的討論課和講課的比例
至少是1：1，象外語課就完全是討論課了！討論課一般是一個助教帶上一組學生，
組織討論班，像一些基礎課的討論班比如大一，大二的數學分析，解析幾何，線
性代數與幾何（其實講的是微分幾何和射影幾何），代數學，微分方程，複分析，
大三的微分幾何與拓撲，大四的現代幾何學（整體微分幾何）都是以講討論習題
和講課內容為主，為了讓學生多做題，做好題，所以教師要準備有足夠的高質量
的習題資料，像前面說的各種各樣的習題集，就是把其中的一部分題目拿出來出
版發行（事實上在打基礎的階段不多練習是不行的）。總的來說，討論課的數量
大於講授，如1987年大綱，大一第一學期，每周講課是13節，討論是24節（不算
選修課）。
而且莫大有個好傳統就是基礎課都是由名教授甚至院士來講，柯爾莫戈羅夫，
辛欽都曾經給大一學生上過《數學分析》這樣的基礎課，現在的莫大校長薩多夫
尼奇，目前也在給大一學生講《數學分析》（不過校長事情太多，不太可能一個
人把課給上下來）。
想培養一流數學家，就一定要重視科研訓練，包括參加各種學術討論班和寫論
文，莫大的學生如果在入學以前參加過數學夏令營，那他在入學以前已經有一定的
科研訓練，因為，在夏令營就要組織寫小論文。入學以後，學校也鼓勵學生寫論文，
到大三下學期學生要參加至少一個學術討論班，以決定大四大五是參加哪個教研組
（莫大數學系有14個教研室，如分析學，幾何與拓撲學，代數學，數論等，每個教
研室下設教研組，教研組即是科研單位又是教學單位）的活動（莫大數學系，到了
大四大五，學生每學期要參加一個學術討論班，目的是寫論文，莫大要求本科畢業
生至少要有3篇論文，其中2篇是學年論文，一篇作為畢業論文，畢業論文要提前半
年發表在專門發畢業論文的雜誌上，半年內無人提出異議方可進行論文答辯，而且
參加答辯的人是從全國隨機抽取的。答辯時還要考察一下學生的專業知識，這種答
辯又稱為國家考試。
對於本科生，需要讓他們對數學和相鄰學科有個全面的了解，莫大在這點做的
很不錯，數學系的學生不僅要學習現代幾何學，高等代數（內容大概包括交換代數
和李群李代數）等現代數學，也要學習理論力學，連續介質力學，物理學中的數學
方法（大概相當於我國物理專業的電動力學，熱力學與統計物理，量子力學）等課
程。而且還有一些各種各樣的選修課，供學生選擇。必修課中的專業課里不僅有純
數學課程也有變分法與最優控制這樣的應用數學課程，所以莫大的學生在應用數學
方面尤其出色。
要成為一個合格的數學家，光靠短短5年的本科是遠遠不夠，還要經過3-4年的
副博士階段的學習和無固定期限的做博士研究，應該說莫大的研究生院在數學方面
絕對是天下第一的研究生院，莫大研究生院在數學方面有門類齊全的各種討論班，
討論班的組織者都是世界聞名的數學家，參加討論班的不僅有莫大的學者，還有來
自全蘇各個科研機構的學者。經過5年的必修課和專門化課，選修課的學習，凡是
到莫大研究生院來的學生都有很紮實的專業知識，所以莫大的研究生是不上課的，
一來就是上討論班，進行科學研究，同樣研究生想畢業也要拿出畢業論文和學年論
文，畢業論文要拿到雜誌上發表半年以後，有15名來自不同單位的博士簽名，才能
參加答辯。答辯的規矩比本科生更嚴格，只有通過畢業答辯和學年論文的答辯才能
拿到數學科學副博士學位。至於數學科學博士，則是給有一定成就的科學家的學位，
要拿博士至少要有一本合格的專著才行。
如果誰拿到莫大的數學科學博士的學位，那麼誰就可以到大多數世界一流大學
混個教授（包括助教授）當！但是這個過程是十分難完成的，俄羅斯有種說法，說
院士為什麼比一般人長壽，是因為院士居然可以完成從本科到博士這樣折磨人的過
程，所以身體一定好的很！
說到莫斯科大學的數學,有一個人是不能不提的,那就是數學大師柯爾莫哥羅夫，
應該說柯爾莫哥羅夫不僅是數學家,而且是教育家,但是這並不是我在這裡要專門介
紹他的原因,我專門介紹他是基於以下幾個原因：1，如果說使莫斯科大學的數學躋
身於世界一流是在魯金和彼得羅夫斯基的帶領之下，那麼使莫斯科大學真正成為世
界第一數學強校則是在柯爾莫哥羅夫擔任數學力學部主任的時期。2，柯爾莫哥羅
夫是莫斯科數學學派中承前啟後的一代中的領軍人物，特別是如蓋爾范德，阿諾爾
德等著名數學家都是他的學生。3，柯爾莫哥羅夫雖然沒當過莫大校長但是彼得羅
夫斯基去世後，他在莫大基本上就是太上校長，莫大的一些改革措施都和他多少有
些關係。對於數學家柯爾莫哥羅夫，大家一定很熟悉，但是對於教育家柯爾莫哥羅
夫，大家就不大清楚了！下面是我從沃爾夫獎得主，日本著名數學家伊藤清寫的一
篇紀念柯爾莫哥羅夫的文章中摘抄下來的。
柯爾莫哥羅夫認為，數學需要特別的才能這種觀念在多數情況下是被誇大了，
學生覺的數學特別難，問題多半出在教師身上，當然的確學生對數學的適應性存在
差異，這種適應性表現在：1，算法能力，也就是對複雜式子作高明的變形，以解
決標準方法解決不了的問題的能力。2，幾何直觀的能力，對於抽象的東西能把它
在頭腦里像圖畫一樣表達出來，並進行思考的能力。3，一步一步進行邏輯推理的
能力。
但是柯爾莫哥羅夫也指出，僅有這些能力，而不對研究的題目有持久的興趣，
不做持久的努力，也是無用的。柯爾莫哥羅夫認為，在大學裡好的教師要做到以下
幾點：1，講課高明，特別是能用其他科學領域的例子來吸引學生，增進理解，培
養理論聯繫實際的能力。2，以清楚的解釋和廣博的知識來吸引學生運動。3，善於
因材施教。
柯爾莫哥羅夫以為以上三條都是有價值的，特別是3，這是一個好教師必須做
到的，那麼對於數學力學部或計算數學與自動控制部的學生又應當怎樣做呢？柯爾
莫哥羅夫以為除了通常的要求外，有兩點要特別強調：1，要把泛函分析這樣的重
要學科（他說的重要學科恐怕還包括拓撲學和抽象代數）當成日常工具一樣應用自
如。2，要重視實際問題。
柯爾莫哥羅夫認為，學生剛開始搞研究時，首先必須讓學生樹立“我能夠搞出
東西”的自信心，所以教師在幫助學生選課題時，不能光考慮問題的重要性，關鍵
是要看問題是否在學生的能力範圍之內，而且需要學生做出最大的努力才能解決問
題。其實科研訓練應當是越早越好，在學生做習題的時候就要注意進行科研訓練了！
這也是莫大數學成功的秘訣之一。莫斯科大學用討論課上的習題根本沒有我們常見的
套公式，套定理的題目。比如，我的那個親戚，在莫大讀書時擔任數學分析課的助教
（莫大學數學的學生畢業後大多數是到各個大學擔任教師，所以莫大很重視學生的教
學能力，一般，研究生都要作助教，本科生畢業前要進行大學數學的教學實習），據
他說，主講教授每次布置的討論課題目簡直稀奇古怪，比如說有一次，是叫他讓學生
利用隱函數定理證明拓撲學中的MORSE引理，還有一次，叫他給出有界變差函數的定
義，然後證明什麼全變差的可加性等等，一直到雅可比分解！基本上把我們國家的實
變函數課中的有關問題都幹掉了！總之他們經常叫學生證明一些後續課程中的定理，
據他們認為這樣做基本等於叫學生做小論文，算是模擬科研，對以後做科研是有好處
的。
花了很長時間，在BBS上講人家的數學系，也就是希望他山之石，可以攻玉。
中國人在數學方面並不笨，遠的如劉徽，朱世傑，近的如陳省身是大師級的人物，
這就是明證。但是很遺憾，中國現在的數學水平的確比俄羅斯，美國，法國，甚至
近鄰日本都差，特別是日本，他們的數學的起步水平和我們差不多，但是現在呢，
人家有完全國產的數學家小平邦彥，伊藤清獲得沃爾夫獎，而我們只有一個已經入
了美國籍的陳省身！實在是慚愧啊！
要改變這種情況，我想我們的教學，科研體制都要改。首先，要從中小學改起，
我只說一點，就是說把初等微積分和初等線性代數，歐氏空間解析幾何放到高中教，
下面重點是談論大學數學系的本科教育，我以為數學專業本科應該是5年，否則絕對
不夠。為了讓數學專業的學生了解相關學科的知識，數學專業前兩年應該和物理，
天文專業一起上基礎課，要減少講課的時間，增加討論課，一般
基礎課1（講課）：1.5（討論），其他課程1：1。課程可以這樣設置：
第一學期：數學分析，幾何學（仿射與射影幾何），代數學（線性代數補充，多項
式代數），數學基礎與數理邏輯初步，普通物理，政治課，C語言，英語，體育
第二學期：數學分析，代數學（抽象代數），普通物理，政治課，電子電路，常微
分方程，英語，體育
第三學期：實變函數與泛函分析，複分析，點集拓撲學，廣義函數與偏微分方程基
礎，普通物理，政治課，FORTRAN語言，體育，英語，分析力學
第四學期：概率論，實變函數與泛函分析，微分幾何，數值分析，理論物理基礎，
連續介質力學基礎，MATLAB與MATHEMATICAL軟件，英語，體育，政治課
第五學期：數學模型，數理統計，離散數學，初等數論，數值分析，張量分析與力
學，微分流形與整體微分幾何基礎，英語，政治課，
第六學期：測度論，高等概率論與數理統計，代數拓撲學，泛函分析，數學史，離
散數學，經典力學中的數學方法，英語
第七學期：同調代數，控制論，隨機過程，選修課（電動力學，統計力學，量子力
學，固體物理學，群論，理論計算機科學，變分法，非線性動力學），專業討論班
第八學期：交換代數，李群與李代數，專業方向課（分成若干方向，主要是幫助大
家寫論文），選修課，專業討論班，論文
第九學期：黎曼幾何，群的表示論，多復變，廣義函數與偏微分方程，專業方向課
，選修課，專業討論班，論文
第十學期：物理學中的數學方法，選修課，畢業論文
