从有理数通过柯西数列构造实数的过程

送交者: algtrd 2010年04月08日08:39:43 于 [教育学术] 发送悄悄话

尽量用“数学语言”。证明过程有跳跃（写教科书还把证明步骤作为作业布置呢），点到为止，足够看出没有“循环论证”了。 定义（C1）：Xn都是有理数，任给一个e>0，e也是有理数，存在N，使得对任何m>N,n>N,|Xm-Xn| 定义（C0）：Xn都是有理数，任给一个e>0，e也是有理数，存在N，使得对任何n>N，|Xn| 定义（C2）：数列的四则运算是逐项运算。对于除法，有限项的除以0可以扔掉不管。 定理（C3）：C1-数列的和，差，积也是C1-数列。C0-数列的和，差也是C0-数列。C1-数列和C0-数列的积是C0-数列。 定义（R1）：两个C1-数列，如果它们的差是C0-数列，他们就是等价的。 定义（R2）：所有C1-数列对于R1的等价类是一个集合，叫它R，俗称“屎数”集合。根据定理（C3），R上有加，减，乘三则运算。通过把有理数等价于常数数列，可以把有理数集合看作R的子集。 定理（C4）：如果{Xn}是一个C1-数列，那么它一定恰好满足以下三个条件之一：   C4-1：{Xn}是一个C0-数列。   C4-2: 存在一个e>0，e是有理数，和一个N，使得对任何n>N，Xn>e。   C4-3: 存在一个e<0，e是有理数，和一个N，使得对任何n>N，Xn 证明概要：可以先看条件C4-4：存在一个e>0，e是有理数，和一个N，使得对任何n>N，|Xn|>e。用C1-数列的定义证明：如果C4-4不满足，那么必然满足C4-1。如果C4-4满足，那么C1-数列的定义可以推出必然是C4-2或C4-3中的一个。 推论（R3）：对于R里的两个元素X,Y（即两个C1-数列{Xn},{Yn}的等价类），可以根据它们的差{Xn-Yn}满足C4的哪一个条件来定义X=Y,X>Y,X 推论（R4）：如果{Xn},{Yn}是两个C1-数列，而{Yn}不是C0-数列，那么{Xn/Yn}就是C1-数列。于是“屎数”R的集合就有了除法，成为一个域。 推论（C5）：如果{Xn},{Yn}是两个C1-数列，而{Xn-Yn}不是C0-数列，那么一定存在一个常数有理数Z，和一个N，使得对任何n>N，如果{Xn-Yn}满足（C4-2）则Xn>Z>Yn，如果{Xn-Yn}满足（C4-3）则Xn 推论（R5）：在“屎数”R的集合里，如果X,Y不相等，那么一定有一个有理数Z在它们之间。也就是说，有理数在“屎数”里是密集的。 定义（R6）：Un都是R的元素，任给一个e>0，e是有理数，存在N，使得任何m>N,n>N,|Um-Un| 定理（R7）：如果{Un}是R里的R6-数列，那么存在R里唯一的元素V，使得：任给一个e>0，e是有理数，存在N，使得任何n>N,|Un-V| 证明概要：为每个Un找一个C1-数列{Xm}n。构造Vn=Xnn。先证明{Vn}是C1-数列。再证明这个{Vn}满足定理的要求。对于唯一性，如果有两个不同的{Vn},{Wn}满足定理要求，他们都是C1-数列，他们的差就是C0-数列，等价类就是0. 总结（R8）：这样，“屎数”域就造好了。它的性质是：包含有理数域，每一个元素都能用一个有理数的柯西数列逼近；有排序关系；是完备的，每一个柯西数列都收敛于一个元素。 为什么它就是“实数”域呢？因为有域的同构概念：两个域的集合元素之间有一一对应关系，这个对应保持四则运算不变。对于有排序关系的域，还能保持排序不变。很容易证明：包含自然数的最小的域一定同构于有理数域。满足R8那些性质的域之间一定同构。 为什么要花那么大力气从柯西数列来定义实数呢？ 首先，其它的实数定义方法也要花力气。比如用十进制小数定义，要严格地证明完备性也是要花力气的。 根本的原因是这个方法是很容易扩充的。比如，柯西数列的定义其实不需要数的完全的排序，只要有一个绝对值的概念就行。平常的绝对值，|20|=|-20|=20.但是有一类“p-进绝对值（p是一个质数）”。|20|_2=1/4，而|20|_5=1/5。如果把所有的柯西数列的定义改成某个p-进绝对值，那样就造出了全新的“p-进数”。同样，也不一定需要是数的序列，在任何一个几何空间上如果定义了距离概念，就可以把它完备化。

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