这个世界到底有多大?一类人一类回答：

　　地理学家说：地球的半径是6370公里，赤道的周长大约四万公里，这就是我们的世界;天文学家说：世界比地球大多了!地球只是宇宙中的沧海一粟。就拿太阳系为例子吧，太阳系的半径大概50个天文单位左右，1个天文单位就大约是1.5亿公里，这个距离，连宇宙最快的光速都要跑8分钟。这还只是太阳系。你说说看，我们的整个宇宙世界有多大?

　　刚才是科学家们的说法。可是，信佛的人说：佛曰“一人一世界，一树一菩提”。世界吗，自己去理解啦，你觉得它有多大就有多大。

　　闲话少说，言归正传。我们要问的是：我们的网络世界到底有多大?

　　谈到网络世界，也得具体指出，是哪一个网络世界?就象大自然到处遍布了各种树木各种森林一样，我们的文明社会也充满了、交织着各种网络：实在的或抽象的、有形的或无形的、技术的或人文的、历史的或现代的。无形的网，诸如社会中的国家之间、社团之间、家庭之间、人际之间的关系网，错综复杂，扑朔迷离。有形的网，诸如电力网、电话网、交通网、运输网，琳琅满目，比比皆是。

　　在这篇文章中，我们要探索的就是错综复杂，扑朔迷离的人际关系网。

　　首先，让我们给网络的大小下一个定义。任何网络都可以抽象为一个由许多顶点和连线组成的‘图’，十八世纪伟大的数学家欧拉从研究七桥问题而创造的图论，便成为构造网络世界数学模型最适用的数学工具。所以，网络的大小，就定义为所对应的图的大小。

　　图论中的‘图’，是由许多顶点和连线构成的。具体到人际关系网来说，每个人就是图中的一个顶点，人与人之间的关系，比如：认识或不认识，就构成图中顶点之间的连线。

　　人类社会中的各种社团组织，小到家庭、朋友圈、教会、公司、学校，大如党派、政府、国家，都是人际关系网的具体社会体现。随着计算机通信技术的进步，互联网的发展，更有了各种虚拟世界的人际关系网，诸如email、facebook、twitter，等等。

　　如何定义图的大小?顶点数和连线数并不等同于图的大小。几何中，可以用点和点之间的最大距离，也就是‘直径’，来描述几何体的‘大小’。因此，要定义图的大小，首先需要在图中引进‘距离’，或‘直径’的概念。

　　人际关系网的直径，定义为任意两个人之间，最多要经过多少个关系(连线数)，才能互相到达?比如，我们考虑一个有200个人的教堂，如果这个教堂的每个人都互相认识，意味着任意两人之间都有1条连线互相到达。因此，这个教堂的‘人际关系网直径’是1。我们再考虑一个100人的小公司，分成部门一和部门二，分别有经理A和B。公司员工之间互相认识的不多，两个经理A、B互相认识，且分别认识自己部门的所有员工。这种情形下，在每个部门内部，员工之间互相到达，需要通过自己的部门经理，也就是：经过2条连线。而部门一的员工C，要到达部门二的员工D，则需通过3层关系：C<->A，A<->B，B<->D，三条连线。因此，这个公司的‘人际关系网直径’是3。

　　从刚才的两个例子不难看出，如此所定义的关系网的大小，与关系网的人数是无关的。从人数来看，上例中200人的教堂大于100人的公司;而从关系网来看，公司的直径为3，大于教堂直径1。所以，关系网的直径所度量的，不是人的多少，而是人与人之间关系紧密的程度。

　　虚拟网络世界的人际关系网，诸如email、facebook、twitter等等，所对应的是

　　具有成千上万个顶点和连线的巨大的‘图’，这种图已经与二百多年欧拉所研究的图有了本质的区别：这些巨大的图是随机的、统计的、算法的。举万维网为例。把万维网中的每个网页看作是图的顶点，网页之间的联系是图的连线。那么，万维网所构成的图有近十亿个顶点和几十亿条连线。并且，图的顶点和连线都不是固定的，而是随机变化的。

　　对一个如此巨大又复杂的随机图，我们却仍然可以用刚才的方式来定义它的大小，只不过，现在的数学量都应该是统计意义上的，所以，任何量的前面，都应隐含着 ‘平均’二字。再以万维网为例，我们说：万维网的大小(直径)定义为从一个网页到另外任意一个网页，鼠标最多需要点击次数的平均值。出人意料的是，根据研究结果，万维网的直径并非如万维网的网页数目那样，是一个巨大的天文数字，而是大约等于19。也就是说：从万维网的一个网頁，要連到任意另一个网頁，平均最多需按19次鼠标。

　　万维网描述的是网页之间的关系。再回到有关人际关系网的话题，我们以近几年非常热门的社交网站：比如‘facebook’和‘twitter’ 为例。从图论的观点来看，这两个社交网络有什么不同呢?在我们刚才所考虑的教堂和公司的例子中，图的连线并无方向性。也就是说，人们的关系只是一种简单 ‘互相认识’ 的关系。如此而构成的图，称之为‘简单图’。如果我们还进一步考虑‘我认识奥巴马，奥巴马不认识我’之类的情况的话，就得在连线上画上单向或双向的箭头，这样构成的图，称之为‘有向图’。 在facebook中，‘朋友’的意义是相互的，即：“如果你是我的朋友，那么我也是你的朋友。”因而，它构成的‘图’中的连线没有方向，是简单图;而twitter所构成的‘图’则是有向图。这两个社交网站都足够大，社会学家们便从它们提供的资料，来研究人类大社会人际关系网的大小。

　　根据2011年世界人口统计，人的数目大约70亿。如果还将死去的人都包括在内的话，应该是几百个亿的数量级。这样一个人类大社会构成的巨大的人际关系网，它的‘直径’会有多大呢?研究结果更是出人意料，它的直径只等于6!也就是说，地球上任何两个人之间，最多通过6次关联，就能互相到达。这就是所谓“六度分隔”说法的来源。这个‘大社会，小世界’的现象，可用一句人们在聚会时偶然碰见意料之外的熟人时常用的话来概括：“世界真小!”

　　除了‘直径’之外，还有两个有趣的特性表征与人际关系网大小有关的性质：‘聚类系数’和‘度分布曲线’。

　　聚类系数可以用来描述人际关系中的“物以类聚，人以群分”的抱团聚类现象。

　　聚类系数的数值从0到1变化。用通俗的话来说，如果在一个人际关系网中，每个人所有的朋友互相都是朋友，这个网的聚类系数就是1。反之，如果每个人的朋友互相之间全都不认识，这个网的聚类系数就是0。直观地看，聚类系数越大，说明抱团抱得越紧;聚类系数越小，说明组织越松散。

　　对人际关系网聚类系数的研究表明，人际关系网的聚类系数是一个小于1，但大大地大于1/N的数，这儿N是关系网的总人数。人类社会有明显的社团现象。各社团内部联系紧密，社团和社团之间，有相对少得多的连线相连，称之为所谓的“弱纽带”。而正是这些弱纽带，在形成“小世界”模型上，发挥着非常强大的作用。有很多人在找工作时会体会到这种弱纽带的效果。 通过弱纽带的连接，人际关系网的‘直径’迅速变小，人与人之间的距离变得非常“相近”，错综复杂扑朔迷离的人际关系网，因此才表现出了‘六度分隔’的现象。

　　度分布曲线则可描述人际关系中各种人物的重要程度。人际关系网中的度分布曲线，用通俗的说法，就是网中朋友数目的分布曲线p(k)，这儿k是‘朋友数’，p(k)是‘朋友数’为k的人数。比如说，如果有一个100人的社团，每个成员都是完全同等重要的，每个人都有而且只有10个朋友，那么，除了10之外，朋友数为别的数目(1，2，3，4，5，6，7……11，12等等)的概率(人数)都是0。所以，这个人际关系网的朋友数分布曲线就是一个只在在10这个数值处等于100的delta函数。但实际上的人类社会网显然完全不是一个平均同等的社会：每个人的重要性由他所处的社会位置所决定。比如说，总统、社会名流、或是影视明星的社交圈要比普通人大得多。举例说，大多数的人(上亿个人)平均每人有20-100个朋友，而名人们可能平均每人有多于120个朋友，性格孤僻的一伙人可能平均每人只有几个朋友，这样的话，度分布曲线看起来是一条在20-100之间出现高峰的一条钟形曲线。

　　据说一个心理学教授在课堂上提出一个问题：“要认识多少人?才能接触到全世界?”同学们一阵静默后，教授意味深长地说：“你只需要认识一个人!”

　　这个教授的言外之意是：这个世界事实上是紧密相连着的，也许我们没有察觉出来。的确，我们人人都置身于这个连接的小世界中，因此，我们应该充分相信和利用自己的人脉关系，认识朋友，扩展圈子，尽享人际关系之乐。

　　综上所述，有关我们这个世界的人际关系网的大小，可以用下面几句话来概括：

　　大社会，小世界。

　　强作用，弱纽带。

　　物聚类，人分群。

　　六度隔，远朋来。

　　名流士，多宾客。

　　孤僻人，少往来。

　　勤社交，扩人脉。

　　地球村，温暖在。