這個世界到底有多大?一類人一類回答：

　　地理學家說：地球的半徑是6370公里，赤道的周長大約四萬公里，這就是我們的世界;天文學家說：世界比地球大多了!地球只是宇宙中的滄海一粟。就拿太陽係為例子吧，太陽系的半徑大概50個天文單位左右，1個天文單位就大約是1.5億公里，這個距離，連宇宙最快的光速都要跑8分鐘。這還只是太陽系。你說說看，我們的整個宇宙世界有多大?

　　剛才是科學家們的說法。可是，信佛的人說：佛曰“一人一世界，一樹一菩提”。世界嗎，自己去理解啦，你覺得它有多大就有多大。

　　閒話少說，言歸正傳。我們要問的是：我們的網絡世界到底有多大?

　　談到網絡世界，也得具體指出，是哪一個網絡世界?就象大自然到處遍布了各種樹木各種森林一樣，我們的文明社會也充滿了、交織着各種網絡：實在的或抽象的、有形的或無形的、技術的或人文的、歷史的或現代的。無形的網，諸如社會中的國家之間、社團之間、家庭之間、人際之間的關係網，錯綜複雜，撲朔迷離。有形的網，諸如電力網、電話網、交通網、運輸網，琳琅滿目，比比皆是。

　　在這篇文章中，我們要探索的就是錯綜複雜，撲朔迷離的人際關係網。

　　首先，讓我們給網絡的大小下一個定義。任何網絡都可以抽象為一個由許多頂點和連線組成的‘圖’，十八世紀偉大的數學家歐拉從研究七橋問題而創造的圖論，便成為構造網絡世界數學模型最適用的數學工具。所以，網絡的大小，就定義為所對應的圖的大小。

　　圖論中的‘圖’，是由許多頂點和連線構成的。具體到人際關係網來說，每個人就是圖中的一個頂點，人與人之間的關係，比如：認識或不認識，就構成圖中頂點之間的連線。

　　人類社會中的各種社團組織，小到家庭、朋友圈、教會、公司、學校，大如黨派、政府、國家，都是人際關係網的具體社會體現。隨着計算機通信技術的進步，互聯網的發展，更有了各種虛擬世界的人際關係網，諸如email、facebook、twitter，等等。

　　如何定義圖的大小?頂點數和連線數並不等同於圖的大小。幾何中，可以用點和點之間的最大距離，也就是‘直徑’，來描述幾何體的‘大小’。因此，要定義圖的大小，首先需要在圖中引進‘距離’，或‘直徑’的概念。

　　人際關係網的直徑，定義為任意兩個人之間，最多要經過多少個關係(連線數)，才能互相到達?比如，我們考慮一個有200個人的教堂，如果這個教堂的每個人都互相認識，意味着任意兩人之間都有1條連線互相到達。因此，這個教堂的‘人際關係網直徑’是1。我們再考慮一個100人的小公司，分成部門一和部門二，分別有經理A和B。公司員工之間互相認識的不多，兩個經理A、B互相認識，且分別認識自己部門的所有員工。這種情形下，在每個部門內部，員工之間互相到達，需要通過自己的部門經理，也就是：經過2條連線。而部門一的員工C，要到達部門二的員工D，則需通過3層關係：C<->A，A<->B，B<->D，三條連線。因此，這個公司的‘人際關係網直徑’是3。

　　從剛才的兩個例子不難看出，如此所定義的關係網的大小，與關係網的人數是無關的。從人數來看，上例中200人的教堂大於100人的公司;而從關係網來看，公司的直徑為3，大於教堂直徑1。所以，關係網的直徑所度量的，不是人的多少，而是人與人之間關繫緊密的程度。

　　虛擬網絡世界的人際關係網，諸如email、facebook、twitter等等，所對應的是

　　具有成千上萬個頂點和連線的巨大的‘圖’，這種圖已經與二百多年歐拉所研究的圖有了本質的區別：這些巨大的圖是隨機的、統計的、算法的。舉萬維網為例。把萬維網中的每個網頁看作是圖的頂點，網頁之間的聯繫是圖的連線。那麼，萬維網所構成的圖有近十億個頂點和幾十億條連線。並且，圖的頂點和連線都不是固定的，而是隨機變化的。

　　對一個如此巨大又複雜的隨機圖，我們卻仍然可以用剛才的方式來定義它的大小，只不過，現在的數學量都應該是統計意義上的，所以，任何量的前面，都應隱含着 ‘平均’二字。再以萬維網為例，我們說：萬維網的大小(直徑)定義為從一個網頁到另外任意一個網頁，鼠標最多需要點擊次數的平均值。出人意料的是，根據研究結果，萬維網的直徑並非如萬維網的網頁數目那樣，是一個巨大的天文數字，而是大約等於19。也就是說：從萬維網的一個網頁，要連到任意另一個網頁，平均最多需按19次鼠標。

　　萬維網描述的是網頁之間的關係。再回到有關人際關係網的話題，我們以近幾年非常熱門的社交網站：比如‘facebook’和‘twitter’ 為例。從圖論的觀點來看，這兩個社交網絡有什麼不同呢?在我們剛才所考慮的教堂和公司的例子中，圖的連線並無方向性。也就是說，人們的關係只是一種簡單 ‘互相認識’ 的關係。如此而構成的圖，稱之為‘簡單圖’。如果我們還進一步考慮‘我認識奧巴馬，奧巴馬不認識我’之類的情況的話，就得在連線上畫上單向或雙向的箭頭，這樣構成的圖，稱之為‘有向圖’。 在facebook中，‘朋友’的意義是相互的，即：“如果你是我的朋友，那麼我也是你的朋友。”因而，它構成的‘圖’中的連線沒有方向，是簡單圖;而twitter所構成的‘圖’則是有向圖。這兩個社交網站都足夠大，社會學家們便從它們提供的資料，來研究人類大社會人際關係網的大小。

　　根據2011年世界人口統計，人的數目大約70億。如果還將死去的人都包括在內的話，應該是幾百個億的數量級。這樣一個人類大社會構成的巨大的人際關係網，它的‘直徑’會有多大呢?研究結果更是出人意料，它的直徑只等於6!也就是說，地球上任何兩個人之間，最多通過6次關聯，就能互相到達。這就是所謂“六度分隔”說法的來源。這個‘大社會，小世界’的現象，可用一句人們在聚會時偶然碰見意料之外的熟人時常用的話來概括：“世界真小!”

　　除了‘直徑’之外，還有兩個有趣的特性表徵與人際關係網大小有關的性質：‘聚類係數’和‘度分布曲線’。

　　聚類係數可以用來描述人際關係中的“物以類聚，人以群分”的抱團聚類現象。

　　聚類係數的數值從0到1變化。用通俗的話來說，如果在一個人際關係網中，每個人所有的朋友互相都是朋友，這個網的聚類係數就是1。反之，如果每個人的朋友互相之間全都不認識，這個網的聚類係數就是0。直觀地看，聚類係數越大，說明抱團抱得越緊;聚類係數越小，說明組織越鬆散。

　　對人際關係網聚類係數的研究表明，人際關係網的聚類係數是一個小於1，但大大地大於1/N的數，這兒N是關係網的總人數。人類社會有明顯的社團現象。各社團內部聯繫緊密，社團和社團之間，有相對少得多的連線相連，稱之為所謂的“弱紐帶”。而正是這些弱紐帶，在形成“小世界”模型上，發揮着非常強大的作用。有很多人在找工作時會體會到這種弱紐帶的效果。 通過弱紐帶的連接，人際關係網的‘直徑’迅速變小，人與人之間的距離變得非常“相近”，錯綜複雜撲朔迷離的人際關係網，因此才表現出了‘六度分隔’的現象。

　　度分布曲線則可描述人際關係中各種人物的重要程度。人際關係網中的度分布曲線，用通俗的說法，就是網中朋友數目的分布曲線p(k)，這兒k是‘朋友數’，p(k)是‘朋友數’為k的人數。比如說，如果有一個100人的社團，每個成員都是完全同等重要的，每個人都有而且只有10個朋友，那麼，除了10之外，朋友數為別的數目(1，2，3，4，5，6，7……11，12等等)的概率(人數)都是0。所以，這個人際關係網的朋友數分布曲線就是一個只在在10這個數值處等於100的delta函數。但實際上的人類社會網顯然完全不是一個平均同等的社會：每個人的重要性由他所處的社會位置所決定。比如說，總統、社會名流、或是影視明星的社交圈要比普通人大得多。舉例說，大多數的人(上億個人)平均每人有20-100個朋友，而名人們可能平均每人有多於120個朋友，性格孤僻的一伙人可能平均每人只有幾個朋友，這樣的話，度分布曲線看起來是一條在20-100之間出現高峰的一條鐘形曲線。

　　據說一個心理學教授在課堂上提出一個問題：“要認識多少人?才能接觸到全世界?”同學們一陣靜默後，教授意味深長地說：“你只需要認識一個人!”

　　這個教授的言外之意是：這個世界事實上是緊密相連着的，也許我們沒有察覺出來。的確，我們人人都置身於這個連接的小世界中，因此，我們應該充分相信和利用自己的人脈關係，認識朋友，擴展圈子，盡享人際關係之樂。

　　綜上所述，有關我們這個世界的人際關係網的大小，可以用下面幾句話來概括：

　　大社會，小世界。

　　強作用，弱紐帶。

　　物聚類，人分群。

　　六度隔，遠朋來。

　　名流士，多賓客。

　　孤僻人，少往來。

　　勤社交，擴人脈。

　　地球村，溫暖在。