“无穷大”到底有多大？　

－－　祝网友们圣诞新年“无穷大地”愉快！　

关键词：　无穷大，集合，范畴，连续统假设，可算性理论，量子计算机，量子算法。

在这篇日志里，我想说说数学中的无穷大是什麽意思。这是数学中一门叫做“集合理论”里面的东西，属于纯数学；恐怕有点哲学的味道。有网友谈起要学文，我觉得文理都要学。我讲的这个无穷大概念或许有助于对我们思维的挑战。　

提到文理，本人觉得文类中最讲究思辨的应该是哲学与社会学。文学应该算是大众的读物，政治学则可算应用社会学。历史这一科好像也是技术，因为它是文学以及社会学还有政治技术等等的应用。理科中讲思辨的是理论数学，物理，理论化学，生物学。“政治学”这个名称似乎就有点问题，或许应该叫做“政治技术”或艺术更恰当。而应用数学与工农艺园林医护卫等等都可算作技术，部分是学问大部分则是技术。当然具体做的人可能经常要两边涉及，比如统计学算是应用数学，但做统计学的人有可能主要做统计学理论研究而不是应用。

要谈无穷大，我们必须先从集合的概念说起。这个概念看起来很简单，就是数学中一堆东西的群体。但是由于逻辑的严格定义数学中必须先定义比集合更广义的东西，叫做范畴。然后，集合定义为范畴中的一个个体。大家可能感到奇怪，但是请不必深究，知道数学中这么个简单的东西还需要费劲地定义就行了。只是做纯数学研究的人，为了提高素养或许必须懂得这一点。

我们主要来说说“无穷大”。或许受过一定教育的人都知道，常用的数字系统中有无穷个自然数。这是指一二三四五，一直数到无穷。这个所有自然数的整体叫做自然数的集合，或者自然数集。这个无穷在数学中记号是“阿涅夫０”，我们这里用ｘ来表示。　

再看下一个例子，那就是任何一段直线上有无穷个点。这一点在直观上应该不是太难理解。先请考虑，把一段线像橡皮筋那样拉长，这上面的点是否增加了？　答案是没有。这么个拉长即使拉到无穷长，也还是没有增加点的个数。这个无穷在数学中记号是“阿涅夫１”，这个拉到无穷长的直线就是数学中数轴的原型。我们用ｙ来表示这个无穷。

想象一下在无限长的线上，我们可以每隔一段固定的距离写上一个自然数。这每一个自然数就占据了一个点。因此，我们不难得出自然数的个数比直线上点的个数要小些的直观理解。也就是说“阿涅夫０”小于“阿涅夫１”。如果你觉得有意思，那么我就告诉你一个奇怪的数学结果。如果把２做“阿涅夫０”次方，那么得到的结果是“阿涅夫１”。

按照我们用ｘ和ｙ的约定，这个结果就是２的ｘ次方等于ｙ；或者　2^x = y。如果把ｘ和ｙ之间的这个关系照推，可以依次推下去，倒是有无穷个“无穷大”。注意ｘ和ｙ本来都是“无穷大”，但是他们一个大一个小，而且还有这么个关系。这自然地出来一个新问题，在这两个无穷大之间是不是还有其他的无穷大呢？猜测是在ｘ和ｙ之间没有其他的无穷大了。但是迄今为止既无法证明也无法否定，所以中间没有其他无穷大的结论叫做“连续统假设”。

不过这很可能是纯数学中的一个极端例子，基本是属于数理逻辑的范畴了。在１８世纪时很多类似的问题已经早被解决了，剩下的比如“连续统”的问题只有极少数数学家仍然在进行研究。

在这篇日志的结尾，我想说一下为什麽要进行这种研究。举一个可能的例子，那就是这种研究与计算机可算性理论有关系。可算性理论在当今互联网的推动下，成了一个非常热门的研究领域。由于计算机网络安全与密码系统对国家安全与银行账户等等的极端重要性，近来制造量子计算机的可能性引起了世界上各大国的相当重视。这种研究一般都是在保密的情况下进行，所以不清楚到底有多少人在做。据猜测，全世界大概至少有几千名数学家与计算机理论学家在进行这方面的研究。这就又产生了两门新学科：一门叫做量子可算性理论，一门叫做量子算法。　

注：本人的研究领域与此只有少许接触，集合论还是在大学里业余自学的。写这一篇日志，是想给作为家长的网友一个非常粗略的印象。或许这可以用来解释，为什麽学数学的人对哲学也有一点点兴趣。