任何科学的建立和发展都离不开数学和逻辑推理。可以说数学和逻辑是科学的基石。明白了这一点，就不难从罗素悖论看出科学的不完备性。
把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有： P={A∣A∈A} Q={A∣A∉A} 问，Q∈P 还是 Q∈Q？ 若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=∅，所以Q∉Q，还是矛盾。 这就是著名的“罗素悖论”。
罗素悖论通俗的描述为理发师悖论：
某理发师发誓“要给所有不自己理发的人理发，不给所有自己理发的人理发”，现在的问题是“谁为该理发师理发？”。首先，若理发师给自己理发，那他就是一个“自己理发的人”，依其誓言“他不给自己理发”；其次，若“他不给自己理发”，依其誓言，他就必须“给自己理发”。
其实罗素悖论并不是人们遇到的唯一悖论。这些悖论的存在，说明逻辑系统的不完备性。而罗素的最大贡献在于他使得我们意识到，任何数学系统都是不完备的，而建立在数学基础上的科学也是不完备的。
