任何科學的建立和發展都離不開數學和邏輯推理。可以說數學和邏輯是科學的基石。明白了這一點，就不難從羅素悖論看出科學的不完備性。
把所有集合分為2類，第一類中的集合以其自身為元素，第二類中的集合不以自身為元素，假令第一類集合所組成的集合為P，第二類所組成的集合為Q，於是有： P={A∣A∈A} Q={A∣A∉A} 問，Q∈P 還是 Q∈Q？ 若Q∈P，那麼根據第一類集合的定義，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A∉A的性質，因為Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。若Q∈Q，根據第一類集合的定義，必有Q∈P，而顯然P∩Q=∅，所以Q∉Q，還是矛盾。 這就是著名的“羅素悖論”。
羅素悖論通俗的描述為理髮師悖論：
某理髮師發誓“要給所有不自己理髮的人理髮，不給所有自己理髮的人理髮”，現在的問題是“誰為該理髮師理髮？”。首先，若理髮師給自己理髮，那他就是一個“自己理髮的人”，依其誓言“他不給自己理髮”；其次，若“他不給自己理髮”，依其誓言，他就必須“給自己理髮”。
其實羅素悖論並不是人們遇到的唯一悖論。這些悖論的存在，說明邏輯系統的不完備性。而羅素的最大貢獻在於他使得我們意識到，任何數學系統都是不完備的，而建立在數學基礎上的科學也是不完備的。
