第十七章﹕混沌遊戲

“我想，龐加萊本質上是保守的。而且，他的數學眼光又大大超越了他的物理眼光和哲學眼光……”

李四很贊同王二的說法。對呀，你們看，他在狹義相對論的表現和他在看到混沌現象時的表現，都是出於同樣的在哲學上和物理上的保守觀念。其實，當初他已經發現了對初始條件極為敏感的混沌現象。但有人認為，龐加萊並沒有把他對同宿交錯網，也就是對混沌現象的全部想法，完全寫進他的著作。他最後提交的有關三體問題論文，有長長的270多頁，而且後來，他還就此問題，發表了三大卷《天體力學的新方法》，對天體力學做出了重要的貢獻。而對同宿交錯網及混沌，卻只是在他的書的第三卷第397節中簡單提了一下，只是為了說明：N體問題的解的複雜性，超出了人們的想象能力。

張三說：“唉，在那個時代，也難為他了……十九世紀末期，人們對自然界的基本理解是決定論的。”

的確，這種混沌的想法完全不符合當時知識界的樂觀情緒。那時的人們津津樂道的是，給定現在的狀態，人類有能力預測未來的一切！

談到這個話題，張三又想起了他們曾經討論過的決定論，上次李四不是說過嗎？根據量子力學，初始條件是無法精確確定的，這個觀點的確很有道理。張三說，儘管我不懂量子力學，但我也聽過量子力學中的不確定原理……。其實，不確定原理並不難理解嘛。在工程中，也有兩個物理量不可能同時被精確測量的情況。比如說：時間和頻率。這是因為，所謂頻率，指的是 ‘一段時間’內的振動次數。如果你把這‘一段時間’精確到一個理想的時間點的話，頻率當然就失去意義了，就像對一個時間點，速度的定義失去其意義一樣。不過，我對‘混沌現象’、‘決定’、還是‘非決定’這些概念，仍然有所疑問：

“雖然叫做混沌，看起來雜亂無章、一片混亂，雖然貌似隨機，但是，我總覺得這種混沌現象與真正的‘隨機過程’，還是風馬牛不相及，它們畢竟是確定的微分方程的解啊！另外，洛倫茨方程產生的混沌，與三體問題中的混沌，還是不同的吧？因為它們是與不同的微分方程有關嘛。所以，我們這兒討論的‘混沌’，有一些，怎麼說呢……好像仍然包含着‘決定’的成分……”

王二很快領悟到了這其中的奧妙：“難怪啊！我總看見書上把它們叫做‘決定性的混沌（deterministic chaos）’，看來這就是原因了！”

不過，王二不同意張三所說的：混沌現象與真正的隨機過程‘風馬牛不相及’這個觀點，王二提到了最近他在一本書上看到的‘混沌遊戲’。

李四也說，我們所說的‘混沌現象’，的確並不完全等同於‘隨機’。但是和隨機過程有關係，它是隨機過程和決定規律的結合。洛倫茨方程產生的混沌，顯然不同於三體問題產生的混沌，因為它們有不同形態的奇異吸引子，分別作為它們各自的標籤！這些奇異吸引子對應於不同的分形，分形有決定的一面，也有其隨機的一面。正如王二所說，從本章介紹的‘混沌遊戲’，我們將看到：分形可以從隨機過程產生出來！

總結我們迄今為止所介紹過的分形，大概有如下三類：

1.   科赫曲線、謝爾賓斯基三角形、分形龍等，可以從線性迭代過程產生；

2. 曼德勃羅集、朱利亞集，從非線性複數迭代過程產生；

3. 奇異吸引子，由洛倫茨方程或三體運動方程等非線性微分方程組產生。

前面幾章中，曾經介紹用迭代的方法構成分形。而隨機過程如何產生分形呢？我們以謝爾賓斯基三角形為例。

圖（17.1）：用混沌遊戲方法生成謝爾賓斯基三角形

在初始圖形上，畫上紅、綠、藍三個頂點，以及隨意選擇的起始點z0，再準備一個能隨機產生‘紅、綠、藍’之一的隨機發生器。這很簡單，比如說，我們可以將標有1-6的骰子重新貼標籤：第1、4面貼‘紅’，2、5面貼‘綠’，3、6面貼‘藍’，這樣，這個骰子就能讓我們達到隨機選擇紅綠藍的目的了。然後，我們就可以開始混沌遊戲。

圖（17.1）所示，從z0開始，利用隨機選出的顏色點（這時是綠），取z0到綠點的中點，作為下一個點z1，然後，又利用再次隨機選出的顏色點（這時是藍），取z1到藍點的中點，作為z2，……以此往復地做下去，得到z3、z4、z5、z6……

張三有點不耐煩了：“你這些亂七八糟的點，看不出什麼名堂啊……”

王二叫他別急，統計現象嘛，一定要足夠多的實驗點才能見效果的。果然如此，從圖（17.2）可見，如果用大量隨機的點作上面的混沌遊戲，最後構成了謝爾賓斯基三角形。

圖（17.2）：生成謝爾賓斯基三角形的混沌遊戲，不同實驗點數的不同結果

張三看看圖（17.2），又回頭再去看圖（17.1），心中琢磨：像這樣，每次隨機選擇一個頂點，取中點作為下一點，一直做下去，怎麼就產生出謝爾賓斯基三角形來了呢？想着想着，腦中突然靈光一閃，似乎覺得不難理解了。因為他想起：在用迭代法產生謝爾賓斯基三角形的時候，每次迭代的過程，都是將原來圖形的尺寸縮小到二分之一，變成三個小圖形，放在三個頂點附近而成的。這迭代時的‘尺寸縮小一半’，肯定就和這兒混沌遊戲中的‘取中點’關聯起來了！不過嘛，圖形迭代時，我們看到的是同時產生了三個小三角形，像是平行運算。在混沌遊戲中，所有分形的點卻是一點接一點，串行而隨機地加到圖上去的。嘿，這就是為什麼叫做‘混沌遊戲’嘛，有意思！看起來混沌，本質上卻和迭代的效果是一樣的！

張三想通了混沌遊戲產生謝爾賓斯基三角形的奧秘，心中得意，剛想解釋給朋友們聽聽，沒料到王二已經早他幾天看過有關‘混沌遊戲’的書，比他理解得還更深一層，提出了一個他沒想過的新問題。王二問李四：

“用混沌遊戲產生謝爾賓斯基三角形比較簡單。像你說的：隨機選擇頂點，再找中點就可以了。但是，一般分形的情況怎麼辦呢？還有那些由非線性方法產生的分形呢？也能用混沌遊戲產生出來嗎？”

李四認為，原則上應該是可以的，雖然他沒有做過。數學家們的特點，不就總是從一個特殊的例子，抽象成一個一般的數學問題，再研究出一般的解決方法嗎？

產生分形所用的迭代方法，可以抽象成一組收縮變換函數，數學家們將此稱為迭代函數系統（IFS，Iterated Function System）。任何分形，只要找到了對應的IFS，就能用迭代法（或者是混沌遊戲的方法）產生出來，非線性的情況也一樣。比如說，下面公式即為謝爾賓斯基三角形的IFS：

f₁(z) = z/2,

f₂(z) = z/2 + 1/2,

f₃(z) = z/2 + ( 3 + I)/2

王二點點頭，張三也覺得更明白了：啊，原來是用迭代函數系統將它們聯繫起來。謝爾賓斯基三角形的IFS中這麼多的（1/2），不就是我剛才想到的‘尺寸縮小一半’和‘取中點’此類操作的數學表達嗎？只聽王二又說：

“你剛才總結過有三類不同的分形，前面兩種分形（簡單的、和曼德勃羅集等）都顯而易見地，可從迭代過程產生。那種奇異吸引子的分形不是微分方程的解嗎？那怎麼從迭代過程產生啊？”

張三高興了，終於找到了表現的機會，趕快搶答。因為這個問題他再清楚不過了，他在畫洛倫茨吸引子等圖的時候，就是從初始時間t0時的初值開始，用迭代法產生出下一個時間t1時的值，以及再下面的t2、t3….等等時刻的數值。這樣做的原因是因為找不到微分方程的精確解，因而只能用迭代法得到數值解。

王二恍然大悟：啊，原來如此！

圖（17.3）：生成樹葉的混沌遊戲