这旮沓高人多，俺就乱扯一通，请方家指教。

好像没有一个简洁的定义说数学是什么。我导师是调和分析专家，有一次他请了一个剑桥大学的牛人访问，该牛人自称是大不列颠调和分析第二牛。对我来说，我导师和他都是调和分析大牛啦。我问这两位大牛能否给调和分析下个定义，这两牛都没正面回答这一问题。

好像说数学是在公理体系中逻辑推理的结果。那末公理体系又是建立在什么基础之上的呢？个人感觉总得知道点什么才行。如果什么都不知道这公理也无从谈起。数学家知道了什么就可以建立公理体系呢？

好像克郎奈克说过，“上帝创造了自然数”。好像也有数学大师要建立自然数的公理系统。但这种公理化只能是对自然数性质的理解，而不是用这种方法来定义自然数。记得说，有一个元素叫做1，每一个元素都有一个后继者。这不就有了自然数嘛。但是怎么叫有一个元素，怎么叫每一个元素，这已经使用了数的概念。所以自然数是上帝造的。

有了上帝造的自然数，人造了有理数。戴德金造了实数，康托也造了实数。戴老的实数是对有理数集的分割，康老的实数是由有理数组成的柯系数列。这实在是与人们头脑中关于数的印象相去甚远。他们说这就是实数咱也不敢有意见。但是在下认为如此一来，有理数就不是实数。因为一个有理数就是一个有理数，它不是一个对有理数集的分割，也不是一个有理数列。精确的说法应该是有理数域与戴德金实数域或康托实数域的一个子集同构。看来戴老和康老的实数理论只能是帮助人们理解实数的连续性，他们定义的并不是实数本身，而是实数的同构体。这不，实数还是上帝创造的。

最近弄到一本中文的几何原本。欧老先生两千多年前就建立起几何的公理体系，令人叹为观止。看了几页之后总感觉这个公理体系还是建立在直观之上的。如果一个人对点，直线，角，长度完全没有印象没有认识，看了欧氏的定义你还是不知所云，没有这些基本概念，就没法用欧老的公设公理进行逻辑推理。比如欧老没有定义线段的相等。但定义圆的时候用到了相等的概念。从某些命题的证明可以看出，两个线段如果经移动后能重合便是相等。那么什么是移动？欧老并没给出定义。直角是这样定义的：两条直线相交如果所有角都相等便是直角。如果不知道什么是直线，谈直线相交便无意义。即使知道了直线，也还是不知道怎么才是两个角相等。

有人认为学校里应该取消平面几何，学平面几何纯属浪费时间毫无用处，有解析几何就够了。说是逻辑训练，其实数学每一门都是逻辑训练。似乎不无道理。有了实数，我们可以定义坐标，在解析几何中点线面都有明确定义。但是解析几何是依赖勾股定理的。有了勾股定理我们才知道那样去定义距离。勾股定理在解析几何中是没法证明的，而在平面几何中可以证明。
又绕回来了。

好像集合是没有定义的。好像有了集合的概念，我们就可以定义各种结构。于是我们就有了群有了度量空间有了拓扑空间有了可测空间。好像这些数学对象可以完全从公理（定义）出 发进行研究。但是公理或定义并不能解决存在性问题。数学家还得从他所已知的数学中找例子。这又显出了公理系统的无力与无奈。

结论：数学的公理化离不开人们对自然界的直观感知。数学的公理化不完全是数学家的游戏。