在大多數情況下，科學和邏輯都是好東西，人應該相信和跟隨它們。但是它們有不可避免的盲點，不能涵蓋所有真理，因此不足以作為一個人、或一個社會的信仰。

我與同學們已連續幾年討論“神vs科學”。我講過從文藝復興時代開始，一大批虔誠的基督徒學者，包括伽利略、笛卡爾、牛頓等，在熱忱探求神意過程中創立了現代科學【1】。信仰科學與邏輯的人回應，鍊金術也孕育了化學。基督教孕育了現代科學，並不代表前者正確。我又分析，國人被灌輸馬克思主義，因此信仰無神論。但馬克思對科學的理解基於機械宇宙觀，機械宇宙觀被後來的科學證偽【2】。皮之不存，毛將焉附？信仰科學與邏輯的人說，糞土中也可以長出鮮花，即使機械宇宙觀與馬克思主義都錯了，也不代表科學與邏輯錯了。不久前我寫道當代科學挑戰達爾文進化論【3】。信仰科學與邏輯的人回答，一種科學理論出現問題，不代表科學本身不可信。我們信仰的是科學背後的理性。

科學的概念相對清晰，而理性的概念相對模糊。傳統定義，理性就是信奉“找原因、講道理” (based on reasons)。一個更清晰的理性定義，也是同學們已在討論中實際採用的：

理性 =(科學 數學 邏輯)的合集                    (Exp. 1)

本文也採用這個理性定義。

討論不斷深入，我受益匪淺，更加理解對方。同學們覺得科學、數學和邏輯都完美可信，理性當然就完美可信。有了這樣好的理性，宗教信仰就沒必要。但絕大多數人不知道，在近一個世紀前，世界頂級思想家們嚴肅探討過這種想法。討論的高潮包括1920年代興起的邏輯實證主義哲學、與之相呼應的數學尋根運動、以及1931年哥德爾發布的兩個不完備定理。簡單講，哥德爾發現數學和邏輯的根本處存在漏洞，現代科學又倚重數學和邏輯，所以科學與理性的基礎不牢。

一 學術界躁動

邏輯實證主義

第一次世界大戰嚴重挫傷了歐洲的自信心。戰爭的殘酷程度與死傷人數遠超過往，也遠超預想。奧匈帝國，俄羅斯帝國、德意志帝國等分崩離析。即使屬於勝利方的英法也損失慘重。面對一片瘡痍，人們在疑問，“強盛的歐洲為什麼步入歧途？什麼地方錯了？”尤其在戰敗的德國和奧地利地區，思想者們質疑一切傳統，包括政治、信仰、文化、哲學、藝術、文學等。

與此同時，人們卻唯獨在科學中看到新希望。隨着電磁學等在19世紀末逐漸成熟，機械宇宙觀走上巔峰。從專家到老百姓都普遍認為，科學已經或即將解決從原子到太空之間的所有問題。在20世紀初，相對論和量子力學相繼誕生，機械宇宙觀開始沒落，但人們對科學的信任有增無減【2】。因為今天我們熟悉的科學難題，比如暗物質、暗能量、宇宙大爆炸等，在那時還沒有被發現、或主流社會還不知道。

1920年代初，歐洲在舔舐自己身上的戰爭創傷，在奧地利維也納大學校園裡、以及校園附近的咖啡店裡，一批年輕學者經常聚會，討論哲學問題。他們的學術背景實際上是物理學，並不是傳統哲學，但他們在科學和數學裡看到一種新哲學，就是後來的邏輯實證主義。這些人被稱為維也納學派。他們的思想很快傳到德國柏林，形成柏林小組。然後再飄洋過海，傳到英國和美國。在後來幾十年裡，它成為西方主流哲學，其影響力溢出學術界，很多觀念進入普通人的言談和思想中。

圖1. 邏輯實證主義(Logical Positivism)三位創始人。左為石里克(Moritz Schlick，1882－1936)德國人，維也納學派(the Vienna Circle)領袖，本是物理學家，著名量子物理學家普朗克的學生。納粹思想盛行時，他被極端分子謀殺。中為卡爾納普(Rudolf Carnap，1891－1970)，德國人，後來移民美國，維也納學派的領袖之一，本是物理學家和數學家。右為賴欣巴哈(Hans Reichenbach，1891—1953)德國猶太人、柏林小組(the Berlin Circle)的創始人，本是物理學家和數學家，老師包括大衛·希爾伯特、普朗克、玻恩和愛因斯坦。希特勒上台後，賴欣巴哈先逃到土耳其，幾年後來到美國。

邏輯實證主義強調驗證(The Verification Principle)。驗證分兩大類，一是用事實驗證，就是科學實驗。二是用數學和邏輯驗證。萬事都要經過驗證才可以被接受。現在世界各地的普通人都接受這個原則，根源就是邏輯實證主義。這個學派的中心思想是，只有科學、數學和邏輯才有意義(sensical)。其他思想體系，包括傳統的形而上學哲學、神學、宗教思想等都無意義(nonsensical)。無意義的思想當然應該摒除。邏輯實證主義者們認為，人應該拋棄宗教與舊哲學，只相信科學、數學和邏輯。看看，他們與今天那些信仰科學與理性、堅決排斥基督教的朋友們多麼相像！

邏輯實證主義的很多細節屬於小圈子裡的陽春白雪，但它的大方向------擁抱科學與理性、拋棄基督教和以基督教為基礎的舊哲學------卻反映了社會潮流。當時的西歐思想家們和普通老百姓紛紛認同。諾貝爾物理學獎獲得者，英國大學者彭羅斯教授回憶，在1930年代，他還是個孩子，與父母住在英格蘭小鎮上，每周日全家都要打扮整齊，去教堂做禮拜。也許出於孩子的敏感，一次在從教堂回家的路上，他突然問母親，“你真的相信牧師講的那些東西嗎？” 母親一下子語塞，讓他很受震撼，記憶深刻。英國本是清教徒的故鄉，老百姓非常虔誠。但在第一次世界大戰之後，民風發生悄然巨變。雖然大家還與過去一樣勤快地去教堂，但心裡的信仰嚴重動搖。

數學尋根運動

邏輯實證主義在數學界獲得廣泛響應。響應者們不一定自認邏輯實證主義者，但他們強烈認同這個學派推崇理性與科學的主張。數學界很多人明確認為，是時候用理性代替傳統基督教了。數學的地位特殊，因為現代科學已徹底數學化。如果科學與理性要成為人和社會的新信仰，數學作為基礎必須首先牢靠。普通大眾覺得數學當然是牢靠的，但是在19世紀末、20世紀初，頂級數學家們都已意識到，數學的基礎還遠未夯實。

數學是完美的。這個印象來自古希臘。那時的數學只有兩部分，算術和歐幾里得幾何學。算術的對象是自然數。在數論中，自然數經常被定義為0與正整數的合集，本文遵循這個傳統。歐幾里得幾何包括5個公理和推導兩部分。基於公理的推導就是證明。所有被證明的命題構成定理集合。西方人長期把經典數學看成最純粹的人類知識，正確性毋庸置疑。它內部自洽(consistent)，精準描述物質世界，且符合人頭腦里的直覺。經典數學完美，反映宇宙的完美。所以歐幾里得說，數學就是宇宙的語言。

但是從文藝復興到20世紀初的幾百年裡，數學已大改變，曾經完美的模樣出現了深刻裂痕。16世紀意大利工程師邦貝利(Rafael Bombelli，1526－1572)於1572年出版《代數學》，討論負數的平方根，虛數概念因此誕生，挑戰人的直覺。英國大天才牛頓與德國大天才萊布尼茨(Gottfried Leibniz，1646－1716)分別發明了微積分，讓無限大與無限小概念變得不可躲避。1830年俄羅斯數學家羅巴切夫斯基(Nikolai Lobachevsky，1792－1856)、1832年匈牙利數學家亞諾什(János Bolyai，1802－1860)，分別發現非歐幾何，造成對傳統數學的最大衝擊。非歐幾何排斥一些歐幾里得公理，比如不要求平行線永不相交，因此催生新幾何體系。數學家們發現這樣的幾何也自洽，卻違反人的直覺和平常觀察到的現實。於是人們開始疑問，非歐幾何還算數學嗎？數學還是宇宙的語言嗎？到底什麼才是數學？

微積分、複數分析、非歐幾何等新分支的出現，讓數學變得支離破碎。數學裡出現了矛盾，既有抽象的、哲學意義上的矛盾，比如非歐幾何還算數學嗎？也有具體的、讓數學家無法忍受的矛盾，比如下節將介紹的羅素悖論。於是數學界開始了聲勢浩大的尋根討論。尋找數學的基礎就是尋找各分支的共性。有了這樣的共性，現代數學才可能重新自洽。恢復自洽是數學尋根的內部動力，而思想界要把科學與理性樹立成新信仰，為數學尋根增加了急迫性。

在數學尋根問題上存在三大學派。一是直覺主義(Intuitionism)，認為數學的根本在於反映人的直覺。顯然，直覺主義與非歐幾何很難相容。二是形式主義(Formalism)，認為數學本質就是一種遊戲規則，只要內容明確、沒有內部矛盾，任何規則都允許。非歐幾何與傳統幾何的矛盾、或非歐幾何與現實的矛盾都不重要，只要它自洽，就算是數學。三是邏輯主義(Logicism)，認為數學的本質是邏輯。歐幾里得幾何與非歐幾何看似不兼容，但它們都符合邏輯，所以都算數學。非歐幾何地位問題有重大現實意義。當時新興的廣義相對論與量子力學都需要它。把非歐幾何排除出數學將嚴重阻礙科學發展。

三個數學哲學流派都對數學發展做出過貢獻。說到學術爭論，讀者可能以為各派互相排斥，一派最終勝出，就代表其他派別都失敗了。其實不然。三方有爭論，有時還很激烈，但他們也有很多共通點，相互促進遠大於鬥爭。比如三方都認為數學應該是公理體系，就是公理加推導兩部分。另外，形式主義與邏輯主義之間有明顯共通性。前者要求數學體系自洽，不在乎數學與數學之外有什麼聯繫。而後者也要求數學自洽，但進一步要求數學符合邏輯。可以說，邏輯主義是形式主義的一個特例。

二 數學邏輯主義

數學邏輯主義最終勝出，但過程遠非一帆風順。

數學邏輯主義的目標是把整個數學建立在現代集合論基礎之上。康托爾是現代集合論之父。他在1870和80年代的研究被廣泛認為是這個新門類的起點。無限集，就是元素無限多的集合，在集合論中地位關鍵。康托爾認為無限集之間還有“大小”之分，比如實數集合大於自然數集合，嚴重挑戰傳統數學家們的直覺。後者認為所謂“無限大”只是一種圖方便的說法，並不是真實的數。把無限大再分大小屬無稽之談。康托爾因此受到嚴重排擠。他最後抑鬱成疾，死在精神病院。

圖2. 康托爾(Georg Cantor，1845－1918)與他的對角線法證明實數區間(0 1)含有元素數量比正整數集更“多”。康托爾是出生於俄羅斯的德國數學家。實數區間(0 1)與正整數集都是無限集。右圖先假設它們有同樣多元素，比如圖中右側在(0 1)中隨機抽取元素，然後與自然數一一對應。康托爾依次從每個實數中取一位數，加1，由此生成下方橘黃色的數。這個“生成的數”肯定屬於(0 1)，卻不在這個表格中，於是假設被證偽，實數集(0 1)比正整數集含更多元素。也就是說，前者比後者“濃度”更高(higher Cardinal number)。無限集的性質經常違反直覺，但也很有趣。比如正整數集、整數集、有理數集等，濃度都相同。整個實數集、實數區間(0 1)、無理數集等，濃度也相同。

羅素悖論

德國數學家弗雷格、與英國數學家和哲學家羅素都是數學邏輯主義大師。在1902年，弗雷格把自己的新書稿交給出版商，等待付印。這本書凝結他半生心血。他認為書成功地把數學建立在邏輯學基礎之上。這時他收到羅素來信，提到一個簡單問題：所有不包含自己的集合構成的集合，是否包含自己？數學表達式：

X、y 都是集合, X = {y | y ∉ y}, 問題 X ∈ X 真還是假？              (Exp. 2)

這就是數學史上著名的“羅素悖論”。邏輯學建立在現代集合論上。集合是集合論中最基本概念。集合可以包含自己。在(Exp. 2)里，如果X ∉ X，根據X的構建條件，它就應該包含自己，X ∈ X，矛盾。如果它包含自己，同樣根據它的構建條件，它就不應該包含自己，又矛盾。羅素悖論揭示集合論不自洽。而邏輯主義者要把整個數學建立在集合論基礎之上，如果這個基礎本身不自洽，數學又怎麼可能自洽？羅素來信造成弗雷格精神崩潰，住進醫院。

圖3. 羅素(Bertrand Russell, 1872－1970)，英國明星學者，哲學家、數學家和邏輯學家，諾貝爾文學獎獲得者，社會主義者，宗教不可知論者，反對基督教。他還積極從政，嚮往蘇聯，但訪問蘇聯後失望。回程中他在1920年訪問中國，備受追捧。他大力勸說中國知識分子要堅持傳統、不要向西方學習，讓剛推翻滿清統治不久，正走向世界的中國人感到無所適從。他其實不懂蘇聯、不懂社會主義、也不懂中國傳統、或現代中國，卻特別敢於發表意見。他極端聰明，卻也非常愚蠢。左圖是他的名言，“沒有足夠證據證明神存在！沒有！”從中可感受到他要求“神的存在要以科學證據為基礎”的強烈情緒。神是精神，而科學研究物質。他堅持在物質世界裡尋求神存在的直接證據，是緣木求魚。他不算邏輯實證主義者，但同樣擁護科學與理性、反對基督教。右圖是他寫給弗雷格(Gottlob Frege， 1848－1925)的信。

《數學原理》

弗雷格太容易失望了，數學邏輯主義遠沒有徹底失敗，他的研究成果後來也大多被挽救，沒有浪費。數學邏輯主義的下一個里程碑就是羅素與他的老師懷特黑德合著的三卷本《數學原理》，出版於1910到1913年之間。它是繼弗雷格的書之後的另一個嘗試，要把數學完全建立在邏輯學基礎之上，具體辦法是以集合論為起點嚴格證明算術與其他數學分支里的每個基本定理。數學邏輯主義因此向前推進一大步，但遠沒有達到所有目的。《數學原理》硬性限制集合的性質，避免了弗雷格落入的陷阱，但後人發現辦法並非最優。

書的第一卷用379頁篇幅證明了算術中的1+1=2，成為後世笑談。這套書簡直不是寫給人讀的！羅素與懷特黑德也半途而廢，終止了寫作。一種解釋是書出版後受到冷遇，賣不動，出版商不願繼續合作。另一種解釋是二人為寫書合作十幾年，有段時間為工作方便，羅素搬到懷特黑德家裡，與後者的年輕太太墜入情網，使得合作中斷。雖然全世界沒幾個人真的通讀過這套書，但它在數學史上的地位崇高，被評為二十世紀英文非虛構書籍中最富影響力的第23名。

圖4. 《數學原理》(Principia Mathematica)，作者羅素與懷特黑德(Alfred North Whitehead，1861－1947)。右圖是其中典型一頁，全是數學和邏輯符號，極少文字。

ZFC集合論

目前數學界的主流意見是，數學的基礎是ZFC集合論。數學邏輯主義經過漫長的爭論，逐漸勝出，超越了直覺主義和形式主義。

ZFC集合論的全稱是“含選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論(Zermelo-Fraenkel Set Theory with the axiom of choice)。它是一個公理體系，共包含10個公理(9 + 選擇公理)，它們讓數學避免了類似羅素悖論那樣的內部矛盾。這個體系的主要創立者是兩位德國數學家，策梅洛(Ernst Zermelo，1871－1953)與弗倫克爾(Abraham Fraenkel，1891－1965)。

在數學邏輯主義被接受之前，數學和邏輯是兩個獨立的領域。ZFC集合論得到廣泛認同後，數學和邏輯已無嚴格界限，二者連成一體。廣義上講，數學就是邏輯，邏輯就是數學。

數學 = 邏輯                            (Exp. 3)

三 希爾伯特計劃

圖5. 德國數學家希爾伯特(David Hilbert，1862－1943)，以及他眾多金句之二，“我們的整個現代文明強調智慧的洞察力與智慧駕馭自然的能力，而這些都基於數學”、“數學裡沒有種族或地理邊界；對於數學，這個世界在文化上是同一個國家”。他生長在一個虔誠的基督教新教家庭，但成年後離開教會，變成不可知論者(agnostic)。他放棄追求“神的精神”，轉而追求“人的精神”，認為有了理性的力量，人就不再需要神、人的精神就可以取代神的精神，而他從事的數學就是理性中的關鍵。所以他討論數學時，經常跳出數學本身，談論數學在人的精神中的地位、以及數學對人類的作用。與那個時代的先鋒知識分子們一致，他堅信理性完美，雖然人還沒證明理性完美。

希爾伯特是20世紀初世界數學領域的頭號精神領袖。在數學史上，他是最後一位在各個主要領域都做出傑出貢獻的人。泛函分析中的“希爾伯特空間”就是他廣為人知的成就之一。他對物理也很有研究，曾與愛因斯坦在同時期發現廣義相對論的場方程。廣義相對論中的希爾伯特作用量是他的又一重要成就。羅素與懷特黑德出版《數學原理》後，數學尋根運動又掀熱潮。作為數學界的掌舵人，希爾伯特在1920年代初提出一整套標準，用以評判統一後的數學體系，獲得廣泛認同與接受，史稱“希爾伯特計劃”(Hilbert's program)。其中包括：

1.  數學是公理體系。包括有限數量的公理和一套嚴格的推論規則。希爾伯特是數學形式主義者，曾與數學直覺主義陣營展開激烈爭論，但他一貫支持數學邏輯主義。

2.  完備性(Completeness)。根據公理與規則，可以發現所有真命題。

3.  自洽(Consistency)。數學必須證明自洽，即數學內部不存在矛盾。

4.  可決定性(Decidability)。數學必須有能力判斷每一個命題的真偽。

試圖用理性替代基督教

希爾伯特計劃直接影響了當時與後世的數學發展，成為世界數學史上的一座里程碑。不難看出，該計划具有鮮明的“形而上”特徵。雖然它為數學發展打造，但它的內容關乎數學背後更深層的東西，類似哲學，而非數學本身。把中國古今數學家們的言論和著作拿來與之比較，差別非常明顯。我曾回顧在對待科學態度上西歐與中國的根本不同【1】。西歐科學家研究科學是為理解神，所以強烈追求形而上，因為形而上讓人接近神。而中國古今科學家沒有基督教信仰，研究科學是為了應用，缺乏形而上的動力。在數學領域也如此。

圖6. 希爾伯特在1930年廣播講演中的一段話，“沒有數學，今天的天文學與物理學無法存在；…但是，所有數學家都拒絕把”應用“作為判斷數學價值的標準。”

希爾伯特是基督教文化培養出來的、反對基督教的數學思想家。他有一套較成熟的思想體系。他選擇完備、自洽、和可決定性作為判定未來數學體系的標準，並不是突發奇想。如果是，其他數學家也不會響應。他與他的跟隨者們在不言而喻中默契。他們都共同生活在其中的基督教文化就在他們的默契中。他們嚮往理性，把數學看作新興理性力量的一部分，希望數學發展讓理性壯大，壓過傳統基督教。希爾伯特計劃的每一個關鍵點都脫胎於基督教義，要與基督教義里對應的部分競爭。

《聖經》說，神是完美(perfect)、守信(faithful)、和給人希望的(hope)。所謂完美，就是神包含所有真理。人不會因為跟隨神而遺漏任何真理。關於神守信，神答應的，就一定會做到，神不會自相矛盾。關於神是希望，當人決定踏上艱苦歷程時，他知道困難不可避免，所以他需要在一開始就確信長遠目標是對的、他最終必將成功。如果不如此，他就沒理由保持信心，就註定失敗。

完美、守信、和希望都是神的重要特點。缺少任一個，神就不再是神，就不配作為人的信仰。希爾伯特與他的思想同黨們，都希望把理性當作新信仰，替代傳統基督教。要實現這點，理性就必須也擁有類似特點。而數學是理性的基礎。希爾伯特把完美、守信、和希望翻譯成數學裡的語言，就變成了上述的完備、自洽、和可決定性。

四 偉大的哥德爾

1930年9月，在如今的加里寧格勒舉行了一連串德國學術界頂級年會。那時加里寧格勒還屬於德國。希爾伯特作為德高望重的數學界領袖，受邀做廣播演講。其中他談道，“所有科學的唯一目的都是榮耀人的精神”。這樣遣詞用句完全脫胎於基督徒讚美神，但他絕口不提神。他談到“駕馭自然”，提及伽利略、康德、高斯、和與他同時代的幾位大數學家。他高屋建瓴，深入淺出，在人類精神和思想進步的大框架下討論數學。在講演的最後，他喊出了後來成為他墓志銘的著名口號，“我們必須知道，我們一定會知道！”這後半句是他對理性的信心，前半句則表達他追隨理性的決心。幾乎整個數學界都準備好跟隨他。

但他當時不知道，就在他講演前一天，一位年僅24歲、極端靦腆的維也納大學博士生哥德爾，在同一個年會上做了一場學術報告，用嚴謹的邏輯否定了希爾伯特關於理性的信念。哥德爾太年輕，他的文章還只是初稿，沒幾個人聽他報告，更少人嚴肅對待他的驚人結論。不過一年後，他的文章終於發表，立刻引起轟動。其核心發現被稱為“哥德爾不完備定理”，從根本上改變了邏輯學與數學，影響力延伸到科學、哲學、神學、以及大眾思想。他也迅速躍升為世界級邏輯學家。從理性的高度看，哥德爾發現人掌握的一些真理並不來源於理性。他有一句名言，“有些事實被認知為真，但不必然可證”。這與希爾伯特、羅素等堅信理性萬能的觀點截然不同。

哥德爾出生於奧匈帝國的德語區，自幼聰慧但柔弱，深受精神類疾病困擾。從青年時代開始，他多次長時間住進精神病院。這造成他不善社交，但他的思想非常大膽犀利。他18歲時進入維也納大學，本想主修理論物理，在選課過程中喜歡上數學和哲學。他積極參加了邏輯實證主義維也納學派的各種討論，最後認定數學邏輯學是所有科學思想的根本，於是轉攻邏輯學。

圖7. 哥德爾(Kurt Gödel，1906－1978)，邏輯學家、數學家、哲學家。在納粹當政時代移民美國，擔任普林斯頓大學教授，與愛因斯坦是同事，兩人相差27歲，卻成為非常要好的朋友。每當下班，他們就會共同散步回家，一路深入討論各種問題。當時的普林斯頓大學聚集了一大批來自世界各地的天才級大師，這兩位無疑是天才中的天才，大師中的大師。兩人具體談什麼，很可能改變人類思想進程，所以其他人非常好奇。愛因斯坦曾說，“我之所以每天上班，就是為了有機會與哥德爾一起散步回家”。

哥德爾是虔誠的基督徒，屬路德派。他不善與人打交道，平時不去教堂，但經常在家研讀《聖經》。他常與身邊朋友講到自己用邏輯學嚴謹證明了神的存在，但他不想公開發表，因為害怕被學術界視為異類。他去世後，他的證明才流出。哥德爾延續了神學史上聖安瑟倫(Anselm of Canterbury,  1033–1109)和萊布尼茨(Gottfried Leibniz,  1646–1716) 試圖證明神存在的工作。前者是11世紀意大利基督教僧侶，後者是17世紀德國著名天才。國人應該熟悉後者對微積分的貢獻。哥德爾認為自己成功證明了神的存在，但學術界裡反基督教氣氛濃厚，挑戰哥德爾證明的人當然也有。這類爭論短期內不可能停止。

圖8. 哥德爾關於神存在的本體論證明。

邏輯實證主義創始人石里克與哥德爾是好朋友，前者在1936年被刺殺，從此哥德爾總害怕被人下毒。到了晚年，這種被迫害狂想症加重，他只吃太太為他準備的飯菜。1977年底，他太太病重住院。1978年1月，他被發現餓死在位於新澤西普林斯頓的家裡。哥德爾無疑是二十世紀最偉大的邏輯學家。也有研究者認為，他是人類有史以來最偉大的邏輯學家，古希臘的亞里斯多德只能算第二。可惜國人中少有人知道他。不但中小學課本和通俗讀物里沒有他，即使在大學生和研究生群體裡，知道他的人也很少。所以我多花一些篇幅介紹他。

深入了解羅素、希爾伯特、哥德爾等的思想之後，我們發現他們思考問題的出發點都是尋求世界與人的根本，他們的數學為這個大目標服務。其他學科也類似，比如我在先前文章中談及牛頓、笛卡爾、開普勒等，因為強烈信仰基督教而創立現代科學。洛克、康德、黑格爾等，因信仰基督教而發展出新哲學與政治學思想。而羅素、希爾伯特等，因懷疑基督教而致力於新數學與哲學研究。無論支持還是反對，西方思想家們思考所有大問題都圍繞基督教，雖然他們在自己的專業中經常不明說。我看到很多朋友花大量時間和精力研讀西方思想著作，但因不懂基督教而不得要領，於是在此做個提醒。

哥德爾不完備定理

本節的目標讀者是不了解哥德爾理論的人，目的是讓他們了解理論的大概，並建立基本直覺。這裡不追求嚴謹，也避免次要細節。本後注釋中有理論證明的鏈接【4】【7】，有興趣的讀者可以進一步閱讀。

哥德爾不完備定理的標準表達形式：

·         第一定理：任何自洽的形式系統，只要包含自然數的算術規則(皮亞諾公理Peano axioms)，就一定存在不能被證明的真命題。

·         第二定理：任何自洽的形式系統，只要包含自然數的算術規則(皮亞諾公理Peano axioms)，就不能證明本身的自洽性。

所有現代科學體系、現代數學和邏輯學體系、現代哲學體系等，都是公理體系，比如牛頓力學。它們都包含算術邏輯，比如都承認1+1=2，所以都滿足定理中的條件，也都適用定理的結論。其中第一定理回答希爾伯特計劃中的完備性問題，第二定理回答自洽性問題，答案都是否定的。用平常話翻譯第一定理，任何理性系統都不完整，都會遺漏某些真理。第二定理的意思是，即使自洽的理性系統也不能證明自己自洽，更何況非自洽的系統。

在現實中，人們要求理論自洽優先於理論完備性。被發現自相矛盾的理論，要麼發現者自己就否定了、不會公布，要麼公布後被他人看穿、很快被拋棄，比如文革時期中國物理學界推出的“層子模型”。但即使最嚴謹的學者也通常可以接受不完備、但在某些情況下最優的理論。比如牛頓力學不能涵蓋極端微觀或極端宏觀的現象、是不完備的。但它在很多情況下比量子力學和相對論更方便，所以全世界都繼續使用。簡單講，當今所有科學理論都只是目前還未發現其自相矛盾、但人們已經知道它不完備的理論。它遺漏真理，且不能保證它以後不出現自相矛盾。

數學同樣不完備，不能證明自己自洽。哥德爾不完備定理提出後，很多數學家們認為以下命題為真、但可能永遠無法證明：

1.  哥德巴赫猜想(Goldbach's Conjecture)：任何大偶數都可以被寫成兩個素數之和。因為政治宣傳，很多人誤以為陳景潤解決或幾乎解決了它，其實不然。哥德巴赫猜想說： 任何偶數 = 素數1 + 素數2。 陳景潤證明：任何偶數 = 素數1 + 素數2  或  任何偶數 = 素數1 + 素數2 × 素數3。數學界簡稱哥德巴赫猜想是“1+1”，陳景潤證明了“1+2”。二者差距甚遠。

2.  孿生素數猜想：孿生素數無限多。相差為2的兩個素數是孿生素數。

3.  連續統假設(the Continuum hypothesis)：不存在一個濃度絕對大於整數集I、又絕對小於實數集R的集合。

…

簡介定理的證明

哥德爾不完備定理的證明是數學史上最精彩的證明之一，值得有條件的朋友們花時間了解。為避免本文讀起來太沉重，這裡只給出證明的大致思路和關鍵技巧，不求完整或嚴謹。

大致思路

證明總體運用邏輯學裡的“自指”(self reference)，在理性系統中製造矛盾。哥德爾發現在任何形式系統裡，總存在本質如下、但具體內容符合具體系統要求的邏輯判斷句：

P = 本句話是偽命題                            (Exp. 4)

那麼命題P是真還是假呢？

·         如果系統沒有發現P是真命題，既把P自動歸類為偽命題。而P說自己是偽，所以P是正確的。於是系統遺漏一個真命題。完備性被破壞，就是第一定理。

·         如果系統發現P是真命題，而P又說自己是偽，於是系統自相矛盾。自洽性被破壞，就是第二定理。

關鍵技巧

證明中有兩個難點。一是形式系統的具體內容紛繁複雜，不同系統之間差別巨大。描述命題的語言要麼是如英文那樣的人類常用語言，要麼是邏輯符號，就像圖4中右圖 《數學原理》的那個典型一頁。而哥德爾追求的結論需要適用於所有形式系統，這讓統一描述問題變得困難。沒有統一描述，問題就無法統一解決。二是等式(Exp. 4)中存在循環定義。它等價於：

P = P是偽命題                              (Exp. 5)

P同時出現在等號兩邊，造成邏輯循環。

為解決這兩個難點，哥德爾獨創一套數字編碼，名曰哥德爾數(Gödel numbering)，把所有可能的形式系統都投射到自然數集上，系統內命題與自然數之間建立一一對應關係，讓問題描述變得統一。然後

定義G(p) 為任一命題p的哥德爾數                (Exp. 6)

改造等式(Exp. 5)為：

P = G代表的命題是偽命題                       (Exp. 7)

其中G = G(P)，是命題P的哥德爾數，於是等式(Exp. 7)避免了循環定義。(Exp. 7)被稱為系統的“哥德爾句” (The Gödel sentence)。

圖9. 邏輯符號的哥德爾數。

下面舉例說明如何根據邏輯符號的哥德爾數，把任一命題轉換成一個自然數：

例子命題p： x = 2

1.  第一步，轉換形式：x = SS0       (所有自然數都用S..S0代替，比如 1 = S0, 2 = SS0, …)

2.  第二步，根據上面的對照表，把命題轉換成哥德爾數矢量：x對應13，=對應5，S對應7，整數0對應6，於是命題 x = SS0 對應 (13 5 7 7 6)。

3.  最後，把哥德爾數矢量轉換成一個自然數：G(p) = 2¹³ X 3⁵ X 5⁷ X 7⁷ X 11⁶。其中冪運算的底數序列(2 3 5 7 11)是素數序列，根據需要可無限延展。冪運算的指數序列是命題的哥德爾數矢量。

上述三步把命題轉換成自然數。如果需要從哥德爾數G(p)恢復命題原形式，只要對它進行素數因子分解，得到冪運算的指數序列就可以獲得。

不可決定性

在1931年，哥德爾提出不完備定理，回答希爾伯特計劃中完備性和自洽性問題。之後幾年裡，塔斯基(Alfred Tarski，1901－1983)和圖靈(Alan Turing，1912－1954)分別發表文章，回答了希爾伯特計劃中的可決定性問題。有人報告，哥德爾在私人手稿里推導出類似結果，但沒有及時發表。其中圖靈的方法較直觀易懂，所以這裡重點介紹。

在研究可決定性問題時，圖靈提出“圖靈機”概念，就是現代計算機的基本數學模型。關於圖靈機，有兩個基本結論：

1.  任何計算機本質上都是圖靈機。包括算盤、機械計算機、電子計算機、量子計算機等。

2.  圖靈機與形式系統之間存在等效關係。任何形式系統都有一個圖靈機與之等效，反之亦然。

希爾伯特可決定性問題(Undecidability Problem)與圖靈機停機問題(Halting  Problem)等效。以哥德巴赫猜想為例解釋這種等效性。存在三個角度理解此猜想：

1.  它是一個遊戲，目的是尋找不能分解成兩個素數之和的偶數。遊戲從X=4開始檢驗。如果當前X是兩個素數之和，設置下一步X：X_i+1=X_i+2。如果當前X不能分解成兩個素數之和，遊戲結束，哥德巴赫猜想被證偽，否則遊戲繼續。但有人已試過小於4 × 10¹⁸的所有偶數，都可分解成兩個素數之和。顯然，如果哥德巴赫猜想正確，遊戲將無限繼續。但“遊戲繼續”本身不足以證明哥德巴赫猜想。

2.  在ZFC公理體系內證明或證偽。如果這個體系滿足希爾伯特的可決定性，就是它可以判斷每個命題的真偽，那麼一定存在一套包含有限步驟的推導過程，始於ZFC的10個公理，終止於哥德巴赫猜想、或它的否定形式。如果哥德巴赫猜想是真，這個證明過程肯定不是第一點中的遊戲過程，因為那個遊戲無法證明哥德巴赫猜想。

3.  按照圖靈的思路，為上述第2點找到等效的圖靈機停機問題。比如設置圖靈機起始狀態為ZFC的10個公理，每次運用一個有效推導步驟，產生的結論就是新定理集。如果其中包含哥德巴赫猜想或它的否定形式，尋找成功，圖靈機進入停機狀態。如果圖靈機一直不能進入停機狀態，定義為死機狀態。

很顯然上述第2點中的形式系統可決定性問題，等效於上述第3點中的圖靈機停機問題。

圖靈的證明

希爾伯特期望的是，數學統一在公理集合上之後，完全依靠這個系統的固有性質，就可以判定任何命題的真偽。 他追求能抗衡神的理性。神無條件地給人希望，希爾伯特自然要求理性也同樣無條件地給人希望。但他的期望最終落空，理性沒那樣的能力。

以下是圖靈的證明。首先假設希爾伯特可決定性為真。存在這樣的形式系統，給它任何命題，它都可以判定真偽。我們把此系統對應的圖靈機稱為H。此系統的可決定性問題與H的停機問題等效。對於任何輸入命題，H都會正常停機，永不死機。如果輸入信息是“圖靈機X是否會死機？“，H當然也永遠能判斷，並輸出關於X的正確判斷。Y代表X會死機，N代表X永不死機。我們進一步按下圖改造H成為H+，加裝新增單元，如果H輸出Y，新增單元和整個H+停機；如果H輸出N，新增單元和整個H+就進入無限循環，死機。

圖10. 圖靈為證明不可決定性而假想的連環圖靈機。

很顯然，如果我們問H+，“圖靈機H+是否會死機？“，就造成矛盾。如果H+的第一部分，H，給出的答案是Y，就是”H+會死機“。但是H+死機，就必須要求H輸出N，矛盾。如果H給出的答案是N，那麼就要求H輸出Y，又矛盾。自相矛盾不可避免，所以最初假設錯誤，不存在能判斷任何命題真偽的形式系統，也可以說不存在總能停機的圖靈機。

五 總結

人腦是計算機嗎？

圖11. 哥德爾的一句學術名言，“要麼數學對於人腦來說太宏大，要麼人腦並不只是一台機器”。背景照片是哥德爾與愛因斯坦並肩走在普林斯頓的鄉間小路上。

假設人腦F是以肉體為硬件的計算機，F必然對應一台圖靈機T，那麼F可能知道的全部真理就是T的定理全集。但是我們已知道，T的定理全集不包括系統的“哥德爾句”，就是“此句在系統中不可證明”，而人腦F知道。於是假設被否定，沒有一台圖靈機可能完全代表人腦，人腦比任何圖靈機至少多知道一條真理。

這就是著名的“盧卡斯-彭羅斯觀點” (Lucas–Penrose argument)。盧卡斯(John Lucas, 1929 – 2020)是英國哲學家，兩年前去世。前文曾提到彭羅斯(Sir Roger Penrose, 1931－)。他是英國數學家、物理學家，諾貝爾獎獲得者，霍金的工作夥伴和好友。在哥德爾不完備定理髮布後，很多學者認為從它可推論人腦超越計算機，包括哥德爾本人。盧卡斯和彭羅斯只是把這個觀點說得最簡潔和有條理的人。

如果盧卡斯-彭羅斯觀點正確，就會出現一連串重要推論：

1.  人工智能永遠不可能完全取代人。

2.  人的非理性思維有重要意義，讓人的智慧比純理性更勝一籌。非理性並不都是愚昧。

3.  物質不決定人的意識，人的意識超越物質。物質能夠產生的最高智慧形式就是圖靈機，人的智慧超越它。

4.  人不是動物，人超越所有動物。唯物主義和唯心主義都同意，動物是物質的。笛卡爾說，“動物是機器”。唯物主義認為人也是機器，也是物質的。如法國早期唯物主義者梅特里認為“人是機器”。馬克思主義則認為“人是高級動物”。但盧卡斯和彭羅斯認為人不是機器、人超越所有機器。所以人不是動物、人超越所有動物。

在世界學術界裡，無神論是主流。在過去一個多世紀裡，無神論者占據了幾乎所有重要學術話語權。圍繞盧卡斯-彭羅斯觀點還存在很多爭議。不過，即使它被否定，哥德爾不完備定理至少也證明，任何理性體系都要麼漏掉真理、要麼內部矛盾、要麼二者兼備。任何信仰理性的人，他的信仰既不可能基於理性，也不符合理性。這表明理性從來不是，也永遠不可能是信仰。雖然人類崇尚理性的精神始於基督教文化圈，基督徒們一直也是最尊重理性的人群，但基督教向來強調信仰高於理性。

圖解西方對神態度的演變

圖12. 畫中人叫約伯，本來是個健康、富足、幸福的人，但神讓他變得貧窮、生病、失去家人。關鍵是他沒做任何錯事，卻無辜受難，而且神不對他做解釋。約伯曾疑惑，怪罪神不公正，但每次他對神的信心都戰勝他的懷疑。最後神加倍償還了他。在圖畫中，約伯已變得衣衫襤褸，滿身生瘡，孤獨一人。神讓他一無所有，但他依然對代表神的天空保持崇敬。這就是傳統基督教要求人對神的態度。

《約伯記》是《聖經》中最古老的故事之一，背景時代距今4000到5000年。約伯體現的基督教義是“因信稱義”。“信”最重要，超越一切。在生活中的很多事上，人經常因為理解而信。但在信仰層次上，基督教認為理性基於信神，而不是信神基於理性。《聖經》上說，“敬畏神就是智慧的開端”。敬畏神就是堅信神。無論人是否理解，人都要信神。信神讓人智慧增長，對世界和人生理解得更多更好。《約伯記》講的就是這個道理。

圖13. 米開朗基羅在1512年作的名畫《創造亞當》。在文藝復興時代，西方對人神關係的看法大變。一般來說，基督教不允許信徒畫神的形象，即使畫也要把神畫得高遠，表現神高深莫測。但這裡左邊男性角色代表人，右邊男性角色代表神。二者大小類似。神只比人位置高一點、看上去年長一點而已，實際上就是人的形象。且人與神的手指幾乎相碰，代表他們非常接近。畫家如此安排，其《聖經》根據是，“神按自己的樣子造人”、“神是人在天上的父”、“神愛人”等。這幅畫很好地反映了那個時代人對神的新態度。這個態度的源頭也是《聖經》，但與《約伯記》裡的樣式大不同。自不待言，文藝復興運動總體非常成功。

圖14. 1793年法國法定節日“理性節”(Fête de la Raison)的場面。法國大革命時期，革命者們廢除基督教，創立“理性崇拜”(Culte de la Raison)。無神論者用理性代替神作為人的信仰，用“理性節”取代原來的聖誕節。圖中手持長矛的就是“理性女神”，上方的文字意思是“哲學”。今天很多同學們相信無神論，推崇理性，喜歡哲學等，但他們中很少人知道，自己思想的真正來源是清朝中葉發生的法國大革命。

基督教主導西方社會千年，讓很多人深深厭倦，渴望沒有神管束的自由。法國大革命推崇理性與民主，其背後的思想家們，如盧梭，以及革命領袖們，如羅伯斯庇爾，都聰明博學。但是當革命擺脫了基督教的羈絆，人的聰明博學與指導思想中的理性和民主等，都無法阻止革命陷入瘋狂與殘忍。大革命把法國推進深淵。直到拿破崙政變後恢復基督教，才救法國於萬劫不復的境地。

圖15. 左為希爾伯特的墓碑，墓志銘就是他著名的口號，“我們必須知道，我們一定會知道！”右為羅素的名著《為什麼我不是一個基督徒》，至今還有眾多讀者。

法國大革命慘敗，但它的很多思想並沒有死掉，只是暫時潛伏起來，等待機會重新抬頭。其中包括無神論。二十世紀初期，世界大戰使得歐洲陷入強烈自我懷疑，科學進步又讓人對理性心生嚮往，於是這種機會來了。這次的無神論先鋒們與法國大革命中的那批類似，也是在常人眼中最聰明、最有學問的人，包括羅素、希爾伯特、還有美國的杜威等。杜威就是胡適的老師。

沒人預料到，極端靦腆、不諳世事的哥德爾竟成為摧毀這場來勢洶洶的無神論攻勢的人。他的不完備定理一擊打中羅素、希爾伯特等人的思想要害。本質上哥德爾對他們說，“你們犯糊塗了。你們說你們信仰理性，但我用嚴格的理性證明給你們看，你們對理性的信仰本身不可能基於理性，因為理性無法保證自己自洽，卻知道自己肯定漏掉真理”。

最後的話

哥德爾、連同塔斯基、圖靈等人揭示了，在數學的根部有幾個無法彌補的漏洞。現代科學依賴數學，理性依賴科學與數學，所以人類理性有根本性局限，不能作為個人或人類的信仰。只可惜，近百年已過去，很多朋友卻完全不知道這幾位思想家的偉大發現，所以我要寫這篇文章介紹。

基督教神學家們早就論證了神的完美性。神完美，所以是衡量其他所有東西的標準。只有神完美，如果在神之外存在其他完美的事物，那個事物就應該成為衡量萬物的標準，包括衡量神。神與它不一樣，就代表神有缺陷。有缺陷的神就不是神了。神造的東西，包括宇宙、人、科學、數學、邏輯，理性等，經常美好，但都只體現神在一事、一物、一個方面的好，沒有哪個能夠完全再現神的完美。

但是在近百年來，越來越多的人覺得科學和理性完美，覺得有了它們人就不需要神了。從頂級哲學家、到千百萬受過良好教育的中西精英、再到市井百姓、以及我的交大同學們，都這樣認為。理性主義者們認為自己站在正確的一邊，而基督教落後、腐朽，站在了錯誤的一邊。在這個人類認知關鍵點，偉大的哥德爾走上歷史舞台。他用完全理性的方式證偽了理性的完備性與自洽性。塔斯基和圖靈等人又證偽了理性的可決定性。簡而言之，理性不具備神那樣的完美，所以不配做人的信仰，不能取代神。

最後，我用著名現代天文與天體物理學家羅貝特 加斯特羅(Robert Jastrow, 1925 – 2008)的一段話結束此文。“對於一個堅定信仰理性的科學家，他的人生故事最後會變成一場惡夢。經過艱辛努力，他終於翻過了名叫‘無知’的山脈，正在攀登那座最高峰。但當他費盡全力爬上最後一塊岩石時，卻發現一夥神學家們跑過來迎接自己。他們已在這最高峰上等待他幾百年了。”

2023年1月5日

電郵：yuanzhiluo@yahoo.com 博客網址：https://lyz.com  或 https://github.com/luotuo123456/lyz

注釋

1.  駱遠志，2018，為什麼現代科學誕生在西歐、不在中國？https://lyz.com/modern-science/   

2.  駱遠志，2021，為什麼馬克思主義哲學錯了，https://lyz.com/sci_marx_god/

3.  駱遠志，2022，當代科學挑戰達爾文進化論，https://lyz.com/id-evolution/

4.  K. Gödel, über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. Monatshefte für Mathematik und Physik, 38 (1931), pp. 173-198.

5.  A.M. Turing, 1936, On Computable Numbers, with an Application to the Enentscheidungsproblem, Proceedings of the London Mathematical Society 2(42), pp. 230–265.

6.  Penrose, R. , 1994, Shadows of the Mind: A Search for the Missing Science of Consciousness,  Oxford University Press, ISBN 0-19-853978-9

7.  Natalie Wolchover, July 14, 2020, How Gödel’s Proof Works, https://www.wired.com/story/how-godels-proof-works/

8.  The Lucas-Penrose Argument about Gödel’s Theorem, https://iep.utm.edu/lp-argue/

9.  Wikipedia, Hilbert's program, https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_program

10. Internet Encyclopedia of Philosophy, The Lucas-Penrose Argument about Gödel’s Theorem, https://iep.utm.edu/lp-argue/

11. J.T. Smith, February 2014, David Hilbert's Radio Address - English Translation, https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/david-hilberts-radio-address-english-translation

12. R.J. MARKS and S. HAUG, 20210607, GÖDEL SAYS GOD EXISTS AND PROVES IT, https://mindmatters.ai/2021/06/godel-says-god-exists-and-proves-it/

13. Robert Jastrow, 1978, God And The Astronomers, W. W. Norton & Company, 2000 2nd edition, ISBN 0-393-85006-4.