費馬大定理原命題如下：不定方程an + bn = cn (n>2)無正整數解。

本文用初等方法證明n=3,n=4時的情形。證明過程如下：

n=3時的情形；

下面用反證法證明，假設存在一組正整數（a，b，c）是滿足方程x3+ y3= z3的最小正整數解

則a3+ b3= c3 ( 1 )

顯然： (a，b)=1 ( 2 )

否則設(a，b)=d

則d︱a, d︱b

所以d︱a3+ b3

則d︱c

所以(a／d，b／d，c／d )也滿足方程，這與(a,b,c)是滿足方程a3+ b3= c3的最小正整數解矛

盾

所以(a，b)=1

同理(a，c) =1， ( 3 )

(b，c) =1 ( 4 )

由a3+ b3= c3

得a3= c3- b3= (c- b)( (c- b)2+3bc) ( 5)

((c- b)，bc)=1 ( 6 )

所以( (c- b)，( (c- b)2+3bc) ) =1 ( 7 )

由( 6 )式知(c- b)︱a3

設（(c- b)，a）=p 且c-b=pp1( 8 )

則p3︱a3，pp1︱a3

又p1不能整除a

所以p1=p2 ( 9 )

所以c - b= p3 ( 10 )

同理c - a =q3 ( 11 )

a+ b=r3 ( 12)

（其中p，q，r 均為正整數）

解(10)(11)(12)式得：

a=（r3+ p3 - q3）/2 ( 13)

b=（r3+ q3 - p3）/2 ( 14)

c =（r3+ q3+ p3）/2 ( 15)

由(8) 式知p︱a，q︱b，r︱c

又由(2)，(3)，(4)式知(p，q)=1 (16)

(p，r) =1 (17)

(q，r) =1 (18)

把(16)，(17)，(18) 式代入(1) 式中，得：

[(r3+p3-q3)/2]3+[(r3+q3-p3)/2]3=[(r3+q3+p3)/2]3 (19)

即： 2r3(3p6+3q6+r6-6p3q3)

=p9+q9+r9+3p3q6+3p6q3+3p3r6

+3q3r6+3p6r3+3q6r3+6p3q3r3 (20)

化簡得:

p9+q9-r9+3p3q6+3p6q3+3p3r6+3q3r6-3p6r3-3q6r3-6p3q3r3

=-27p3q3r3 (21)

即： (p3+q3-r3)3=-24p3q3r3 (22)

方程兩邊同時開3次方，得：

p3+q3-r3=-2*31/3pqr (23)

由於p，q，r 均為正整數。p3+q3-r3，pqr 也是正整數。

(23)式與事實矛盾。

說明假設不成立。

即： x3+ y3= z3無正整數解

n=3時命題得證。