的概念。

所以，即使利用三餘法，不需要驗證所有餘數的情況【0、1、2】，只要解一個方程即可。

例如，在這個八位數問題中，考察那個二項式的展開式

(10a+b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2    (1)

當b=0、1或9不需要考慮：因為b^2為0或1，不可能。

當b=3,4,5,6,7時，利用100a^2 + 20ab的奇偶性即可得出矛盾【包括b^2是兩位數時的十位數的進位】。

當b=8時，(1)=(100a^2 + 160a + 6)+4。除去4以後，剩餘的七個數之和是40，是偶數，無法用二餘法判斷。就用三餘法。40除3餘1，故(100a^2 + 160ab + 6)也應是除3餘1；就是說，如果能證明

100a^2 + 160a + 6 - 1能被3整除，或20a^2 + 32a + 1 能被3整除，則當b=8時，此八位數就是一個完全平方數。

也就是要把20a^2 + 32a + 1分解因式，使得至少兩個因式之一是3的倍數；或解出這個一元二次方程

20a^2 + 32a + 1 = 0

的兩個根m和n，使得(a-m)(a-n)=0，而(a-m)(a-n)至少這兩個因式之一是3的倍數；但是至少(a-m)與(a-n)必然是正整數。

以下的工作就簡單了。

b=2時，情況也類似。