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倒数之和=-a
送交者: zhf 2019月11月25日23:10:06 于 [灵机一动] 发送悄悄话
回  答: 趣味的数学-186gugeren 于 2019-11-25 12:57:54

z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d = 0      (1)

设e^(iu) 是(1)的解,代入(1)得

cos(4u)+a cos(3u)+b cos(2u)+c cos(u) = -d

sin(4u)+a sin(3u)+b sin(2u)+c sin(u) = 0       (2)

(2)说明,e^(-iu)也是(1)的解。

设e^(iw) 是(1)的解,e^(-iw)也是(1)的解。

(z-cos(u)-i sin(u))(z-cos(u)+i sin(u))(z-cos(w)-i sin(w))(z-cos(w)+i sin(w)) = 0

(z^2-2z cos(u)+1)(z^2-2z cos(w)+1)=0

z^4+z^3(-2(cos(u)+cos(w))+z^2(2+4cos(u)costs))+

z(-2(cos(u)+cos(w))+1=0                                 (3)

(1)的解的集合(e^(iu),e^(-iu), e^(iw), e^(-iw))    (4)

不难看出,(4)也是解的倒数的集合。倒数之和

e^(iu) + e^(-iu) + e^(iw) + e^(-iw)) = 2(cos(u)+cos(w))

对比(1),(3),

e^(iu) + e^(-iu) + e^(iw) + e^(-iw)) = -a


0%(0)
0%(0)
    4个根的倒数之和也是4个根之和!  /无内容 - zhf 11/26/19 (129)
      这个从单位圆就可得出,但直接应用还要转几个圈。 - 零加一中 11/28/19 (170)
    同意。这题涉及知识面宽。  /无内容 - zhf 11/26/19 (167)
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