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設有△ABC周長和面積均為整數,與角相對的邊分別為
送交者: 仙遊野人 2020月11月07日20:21:50 於 [靈機一動] 發送悄悄話
回  答: 這兩個是對的。一般三角形要“硬做”!gugeren 於 2020-11-07 19:22:09

a,b,c。則根據正弦定理有:面積=1/2absinC,得出sinC=2·面積/ab,是不大於1的有理數,根據餘弦定理有cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),也是不大於1的有理數,C=π/2是其一例,即直角三角形,上面已有結果,現在要看一般情況......

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    我是先證明每個角的正、餘弦是小於一的有理數。也許沒用。  /無內容 - 仙遊野人 11/07/20 (1757)
      找到這幾個三角形,除了以上兩個直角三角形外,有 - 仙遊野人 11/08/20 (1748)
        用這個16(l+m+n)=lmn也行,一個一個地去套,看看 - gugeren 11/08/20 (1736)
          其實取其一半簡化為4(i+j+k)=ijk, 對i,j,k求 - 仙遊野人 11/08/20 (1743)
        這兩組是對的。還有一組。要利用海倫面積 - gugeren 11/08/20 (1740)
          以上的公式就是從海倫面積公式導出。  /無內容 - 仙遊野人 11/08/20 (1727)
            找到:6,24,29。若是要證明只有這幾組需要數論定理, - 仙遊野人 11/08/20 (1719)
              更正:是6,25,29。  /無內容 - 仙遊野人 11/08/20 (1706)
                是的,就這3組;那直角三角形的2組也可以用 - gugeren 11/08/20 (1677)
                  但可以界定正整數解的範圍,以此決定全部解。我上面的題亦如是。  /無內容 - 仙遊野人 11/08/20 (1667)
                無需數論,只要變量到一定大時再無正整數解,充分利用變量對稱性  /無內容 - 仙遊野人 11/08/20 (1659)
  每個角的正弦餘弦都是不大於1的有理數。 /無內容 - 仙遊野人 11/07/20 (1626)
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