證明任何一個多面體，必有兩個面具有相等數目的棱。

證明：

設一個多面體，有n個面: f1, f2,...,fn。fk棱的個數為Ek。這個多面體的棱數為

E=(E1+E2+...+En)/2           (1)

這個多面體的頂點數

V < (E1+E2+...+En)/3         (2)

根據歐拉公式，n+V-E=2, 把(1), (2)代入得

2+(E1+E2+...+En)/2 - n < (E1+E2+...+En)/3 

E1+E2+...+En<6(n-2)          (3)

現在假定，E1, E2, ..., En各異，那麼，E1+E2+...+En的最小值是

(2+1)+(2+2)+...+(2+n)

=2n+n(n+1)/2

代入3得

4n+n^2+n < 12(n-2)

n < 7 - 24/n                     (4)

n的最小值是4。從(4)看出，n<7。用4，5，6試解，發現(4)無解。

這說明，E1, E2, ..., En各異的假定是錯誤的。這就證明了必有兩個面具有相等數目的棱。