证明任何一个多面体，必有两个面具有相等数目的棱。

证明：

设一个多面体，有n个面: f1, f2,...,fn。fk棱的个数为Ek。这个多面体的棱数为

E=(E1+E2+...+En)/2           (1)

这个多面体的顶点数

V < (E1+E2+...+En)/3         (2)

根据欧拉公式，n+V-E=2, 把(1), (2)代入得

2+(E1+E2+...+En)/2 - n < (E1+E2+...+En)/3 

E1+E2+...+En<6(n-2)          (3)

现在假定，E1, E2, ..., En各异，那么，E1+E2+...+En的最小值是

(2+1)+(2+2)+...+(2+n)

=2n+n(n+1)/2

代入3得

4n+n^2+n < 12(n-2)

n < 7 - 24/n                     (4)

n的最小值是4。从(4)看出，n<7。用4，5，6试解，发现(4)无解。

这说明，E1, E2, ..., En各异的假定是错误的。这就证明了必有两个面具有相等数目的棱。