证明：

1】n为正整数，把连续n个正整数单调增加排列。假设最小数的n余数是k <n。如果k=0, 这个数能被n整除。如果k>0，最大数的n余数(广义余数)是n+k-1。n+k-1>=n。那么，在k和n+k-1之间，一定有一个广义余数是n。这就证明了猜想成立。

2】n为偶正整数，把连续n个偶正整数单调增加排列。假设最小数的n余数是k <n。如果k=0, 这个数能被n整除。如果k>0，k是偶数。最大数的n余数(广义余数)是2n+k-2。2n+k-2>n。那么，在k和2n+k-2之间，一定有一个广义余数是n。这就证明了猜想成立。

3】n为奇正整数，把连续n个奇正整数单调增加排列。假设最小数的n余数是k <n。如果k=0, 这个数能被n整除。如果k>0，k有可能奇数，也有可能是偶数。如果k是偶数，所有其它数的n余数(广义余数)都是偶数。那么，所有的广义余数都不是n。这就否定了猜想。