解：

集合{1,2} 中的任何两个元素之和都不是5的倍数。如果一个数不是5的倍数，这个数加上5的倍数也不是5的倍数。所以，

集合{1+5n, 2+5m}, n=0,1,2,...5, m=0,1,2,...5

中的任何两个元素之和也都不是5的倍数。同理，把5加进集合：

S = {1+5n, 2+5m, 5}, n=0,1,2,...5, m=0,1,2,...5

中的任何两个元素之和也都不是5的倍数。

现在余集是{3+5n, 4+5m, 5k}, n=0,1,2,...5, m=0,1,2,...5, k=0,1,2,...,6。

把余集中的任何一元添加到S中都要违反任何两个元素之和都不是5的倍数。

所以S中元素的个数的最大值是13。