解：

集合{1,2} 中的任何兩個元素之和都不是5的倍數。如果一個數不是5的倍數，這個數加上5的倍數也不是5的倍數。所以，

集合{1+5n, 2+5m}, n=0,1,2,...5, m=0,1,2,...5

中的任何兩個元素之和也都不是5的倍數。同理，把5加進集合：

S = {1+5n, 2+5m, 5}, n=0,1,2,...5, m=0,1,2,...5

中的任何兩個元素之和也都不是5的倍數。

現在余集是{3+5n, 4+5m, 5k}, n=0,1,2,...5, m=0,1,2,...5, k=0,1,2,...,6。

把余集中的任何一元添加到S中都要違反任何兩個元素之和都不是5的倍數。

所以S中元素的個數的最大值是13。