水銀桶轉動的圓柱殼數學模型 
一個桶里裝有水銀。桶以角速度w勻速轉動。問水銀表面的曲線（面）方程。 
構造模型： 
桶以角速度w均勻轉動，和桶壁接觸的水銀外層要以桶壁接近的速度轉動。假設在穩態條件下，桶壁和水銀外層幾乎沒有相對速度。如果把這個假定推廣下去，就是任何質點的角速度都相等。
我曾提出一個底面為矩形的細條數學模型。結果是 y = w^2x^2/(2g)+C。下面我提出一個圓柱殼數學模型。結果不同。想討論一下，哪個模型更好。
把水銀桶放在直角坐標系中。水桶中軸與Y軸重合。水桶底的圓心與原點重合。XY平面上水銀面的高度用y(x)表示。 用r=x的圓柱面和r=x+dx的圓柱面把水銀割成圓柱殼。其中，x, x+dx都小於水桶的半徑。圓柱殼的體積是
pi((x+dx)^2-x^2)y(c)。
其中c是x, x+dx之間的某點。細條的質量 
dm = pi((x+dx)^2-x^2)y(c)k。
式中k是水銀比重。dm受到的向心力是 
f = pi((x+dx)^2-x^2)y(c)kw^2c2。
式中c2是圓柱殼轉動時的質心。圓柱殼內側面受到的壓力 
f1= Integral(0,y)2pixkghdh = pixkgy^2(x)。式中h是內面某點水銀深度。
圓柱殼外側面受到的壓力
f2 = pi(x+dx)kgy^2(x+dx)。
側面外內壓力差提供了向心力: f2 - f1 = f。從而得到 
pi(x+dx)kgy^2(x+dx) - pixkgy^2(x) = pi((x+dx)^2-x^2)y(c)kw^2c2。 
g[(x+dx)y^2(x+dx) - xy^2(x)]/dx = [((x+dx)^2-x^2)/dx]y(c)w^2c2。  
令dx趨近於0，有c->x,c2->x,並化簡後得 
g d(xy^2)/dx = (d(x^2)/dx)yw^2x。  
g(y^2 + 2xydy/dx) = 2x^2yw^2。  
g(y + 2xdy/dx) = 2x^2w^2。  
y/2x + dy/dx = xw^2/g。  
y/(2x^(1/2)) + x^(1/2)dy/dx = x^(3/2)w^2/g。  
d(yx^(1/2))/dx = x^(3/2)w^2/g。  
d(yx^(1/2)) = [x^(3/2)w^2/g]dx  
兩邊同時從0到x積分得
yx^(1/2) = x^(5/2)w^2/(5g/2)
y = [2w^2/(5g)]x^2
這個結果與底面為矩形細條的數學模型結果不同。哪個更合理呢？