趣味的數學-22-2【奇妙的“篩子“】-2

2】篩出立方數

利用以下步驟，可以從連續的自然數中“篩”出任何平方數。

a】第一行：按照自然數的原來順序，把它們寫下來。例如，寫下1至20：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

b】從3開始，每三個數划去第三個數，剩下

1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17 19 20

記錄為第二行。

c】第二行：第一數照抄第一行的1，並寫在第一行1的下面。第二數寫下第一行的1與2之和：3，並寫在第一行2的下面。第三數寫下第一行的3和4之和：7，並寫在第一行4的下面。

用此規則，繼續做加法並寫下來。剩下

1 3 7 12 19 27 37 48 61 75 91 108 127 147

d】第三行：第二行中，每隔2個數划去這個數，剩下

1 7 19 37 61 91 127

e】第四行：第一個數是第三行的前兩個之和1+7=8。第二個數是8與第三行接下來的19的和：27。第三個數，是27與第三行接下來的37的和：64。

順序的立方數1，8，27，64，...，出現了！

請說明其中的道理。

【轉引並改編自Richard K. Guy 等人編著的The Lighter Side of Mathematics】