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水银桶转动的圆柱壳数学模型
送交者: 岁月河山 2016年04月29日17:30:39 于 [灵机一动] 发送悄悄话
水银桶转动的圆柱壳数学模型 
一个桶里装有水银。桶以角速度w匀速转动。问水银表面的曲线(面)方程。 
构造模型: 
桶以角速度w均匀转动,和桶壁接触的水银外层要以桶壁接近的速度转动。假设在稳态条件下,桶壁和水银外层几乎没有相对速度。如果把这个假定推广下去,就是任何质点的角速度都相等。
我曾提出一个底面为矩形的细条数学模型。结果是 y = w^2x^2/(2g)+C。下面我提出一个圆柱壳数学模型。结果不同。想讨论一下,哪个模型更好。
把水银桶放在直角坐标系中。水桶中轴与Y轴重合。水桶底的圆心与原点重合。XY平面上水银面的高度用y(x)表示。 用r=x的圆柱面和r=x+dx的圆柱面把水银割成圆柱壳。其中,x, x+dx都小于水桶的半径。圆柱壳的体积是
pi((x+dx)^2-x^2)y(c)。
其中c是x, x+dx之间的某点。细条的质量 
dm = pi((x+dx)^2-x^2)y(c)k。
式中k是水银比重。dm受到的向心力是 
f = pi((x+dx)^2-x^2)y(c)kw^2c2。
式中c2是圆柱壳转动时的质心。圆柱壳内侧面受到的压力 
f1= Integral(0,y)2pixkghdh = pixkgy^2(x)。式中h是内面某点水银深度。
圆柱壳外侧面受到的压力
f2 = pi(x+dx)kgy^2(x+dx)。
侧面外内压力差提供了向心力: f2 - f1 = f。从而得到 
pi(x+dx)kgy^2(x+dx) - pixkgy^2(x) = pi((x+dx)^2-x^2)y(c)kw^2c2。 
g[(x+dx)y^2(x+dx) - xy^2(x)]/dx = [((x+dx)^2-x^2)/dx]y(c)w^2c2。  
令dx趋近于0,有c->x,c2->x,并化简后得 
g d(xy^2)/dx = (d(x^2)/dx)yw^2x。  
g(y^2 + 2xydy/dx) = 2x^2yw^2。  
g(y + 2xdy/dx) = 2x^2w^2。  
y/2x + dy/dx = xw^2/g。  
y/(2x^(1/2)) + x^(1/2)dy/dx = x^(3/2)w^2/g。  
d(yx^(1/2))/dx = x^(3/2)w^2/g。  
d(yx^(1/2)) = [x^(3/2)w^2/g]dx  
两边同时从0到x积分得
yx^(1/2) = x^(5/2)w^2/(5g/2)
y = [2w^2/(5g)]x^2
这个结果与底面为矩形细条的数学模型结果不同。哪个更合理呢?
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        我知道你错在哪。你初中物理学好。  /无内容 - 胡骑来 05/10/16 (320)
          请指明。不要客气。  /无内容 - zhf 05/10/16 (358)
            我想了想。根据“帕斯卡定律”,液体内部只能对“压强”积分,  /无内容 - 胡骑来 05/12/16 (208)
            不能对“压力”积分。所以按圆柱来积分是对的。按圆锥来积分,  /无内容 - 胡骑来 05/12/16 (208)
            得将上面的压力除以上面积乘以下面积。想想初中讲过的  /无内容 - 胡骑来 05/12/16 (214)
              求水中物体的浮力就是把压力加起来,就是把压力积分。  /无内容 - 岁月河山 05/13/16 (138)
            “万吨水压机”。  /无内容 - 胡骑来 05/12/16 (211)
      这也有道理。我再想想。  /无内容 - zhf 05/01/16 (730)
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