趣味的数学-22-2【奇妙的“筛子“】-2

2】筛出立方数

利用以下步骤，可以从连续的自然数中“筛”出任何平方数。

a】第一行：按照自然数的原来顺序，把它们写下来。例如，写下1至20：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

b】从3开始，每三个数划去第三个数，剩下

1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17 19 20

记录为第二行。

c】第二行：第一数照抄第一行的1，并写在第一行1的下面。第二数写下第一行的1与2之和：3，并写在第一行2的下面。第三数写下第一行的3和4之和：7，并写在第一行4的下面。

用此规则，继续做加法并写下来。剩下

1 3 7 12 19 27 37 48 61 75 91 108 127 147

d】第三行：第二行中，每隔2个数划去这个数，剩下

1 7 19 37 61 91 127

e】第四行：第一个数是第三行的前两个之和1+7=8。第二个数是8与第三行接下来的19的和：27。第三个数，是27与第三行接下来的37的和：64。

顺序的立方数1，8，27，64，...，出现了！

请说明其中的道理。

【转引并改编自Richard K. Guy 等人编著的The Lighter Side of Mathematics】