| 數理邏輯與社會選擇理論 |
| 送交者: Harry3772 2016年10月30日15:45:24 於 [五 味 齋] 發送悄悄話 |
小政府，大市場：一個從社會選擇的不可能性得出的結論(2014-02-24 09:24:58) 下一個  上個世紀，二戰後的經濟學與上世紀初的物理學一樣，是人類學術史上的一次大繁榮。個人以為，現代經濟學裡有三個偉大成就：一是經濟博弈論，一是社會選擇理論，還有就是交易成本理論。其中社會選擇理論最為有趣，因為它與我們的民主常識有悖。這裡，就我所理解的社會選擇理論做一簡單的介紹。 二十世紀上半葉，除了物理學在量子力學和相對論中取得了重大的進展之外，近代數學也有驚人的進展。其中最重要的就是數學基礎，數學的基礎是它的公理體系。十九世紀下半葉，德國數學家弗雷格（Ｇ．Ｆｒｅｇｅ）完備地發展了現代意義下的數理邏輯理論，他引進了命題演算、量詞和約束變元，還完整地得到了謂詞演算理論。對二十世紀上半葉的數學家來說，現代數學的基礎就是應用數理邏輯把數學公理化、形式化。而數學的任務就是由其公理體系和邏輯推演出所有的數學命題。具體說來，就是把數學中的代數、幾何、分析公理化、形式化，數學就只是基於這些公理的演繹了。 但是，好景不長。正當英國著名數學家、哲學家羅素（Ｂ．Ｒｕｓｓｅｌｌ）和他的同事懷特海（Ａ．Ｗｈｉｔｅｈｅａｄ），準備把數學基礎歸為邏輯；德國著名數學家希爾伯特（Ｄ．Ｈｉｌｂｅｒｔ），準備把數學公理化、形式化的時候。一九三一年，奧地利數學家哥德爾（Ｋｕｒｔ Ｇｏｄｅｌ）證明了有名的哥德爾不完全定理：一個包含初等數論的形式系統的相容性，在該系統內是不可證明的。哥德爾定理不僅對數學本身來說意義重大，在方法論上的意義也非同小可。它不但對數理邏輯和數學有重大的影響，對人工智能、哲學、經濟學也有着重大的影響。其中之一就是肯尼思·阿羅（Ｋｅｎｎｅｔｈ Ｊｏｓｅｐｈ Ａｒｒｏｗ）的“阿羅不可能定理”。 肯尼思·阿羅於１９２１年８月２３日，出生於紐約的一個羅馬尼亞裔的猶太人家庭。１９４０年，阿羅獲紐約市立大學數學學士學位；１９４１年，獲哥倫比亞大學經濟統計的碩士學位；１９５１年，獲哥倫比亞大學經濟統計博士學位。 阿羅對數理邏輯一直很感興趣。大學四年級時，二十世紀最重要的三位數理邏輯學家（哥德爾、塔斯基、圖靈）之一，波蘭數學學家塔斯基（Ａ．Ｔａｒｓｋｉ），在紐約市立大學講了一年的現代數理邏輯，阿羅從他那裡了解到了傳遞性、排序等現代數理邏輯的基本概念。 當阿羅來到哥倫比亞大學，師從著名經濟統計學家哈羅德·霍特林（Ｈａｒｏｌｄ Ｈｏｔｅｌｌｉｎｇ）攻讀數理經濟學時。阿羅發現，數理邏輯在經濟學中大有用處。最初，阿羅是把數理邏輯中的排序概念應用於消費者的最優決策。阿羅輕而易舉地就推翻了由股東投票表決的方案。 阿羅對社會選擇問題的嚴肅思考，源於解決股東投票的傳遞性悖論。這是一個古老的悖論，由法國哲學家、數學家孔多賽於１７８５年提出。１９４７年時，阿羅對孔多賽和其他有關材料一無所知。 １９４８年，在芝加哥考爾斯（Ｃｏｗｌｅｓ）經濟研究委員會，阿羅對社會選擇理論產生了興趣。他發現“少數服從多數”只是在一定條件下的合理投票規則。很多情況下，“少數服從多數”不但不是最合理的，甚至是不可能的。一個月後，阿羅在《政治經濟學雜誌》上，讀到了布萊克（Ｂｌａｃｋ）的一篇文章，文章表達了同樣的思想。作為一個嚴肅的經濟學家，當時的阿羅認為，致力於用一般均衡理論來建立可行的經濟計量分析模型才是正道。象這類有趣的，但遠離主流的經濟學理論並不值得花太多時間。 １９４９年夏天，阿羅任蘭德公司（Ｒａｎｄ）顧問。蘭德公司的研究範圍很廣，其中有當時還鮮為人知的對策論。公司研究員，哲學家赫爾墨（Ｈｅｌｍｅｒ），正試圖將對策論用於對國家關係的研究。他遇到了一個棘手的問題：當對局者為國家時，儘管每個人的偏好足夠清楚，但由個人組成的集體偏好該如何定義？阿羅告訴他，經濟學家考慮過這個問題，一個有效的形式化描述由伯格森（Ｂｅｒｇｓｏｎ），於１９３８年給出。伯格森用一個社會福利函數的映射描述將個人偏好加總為社會偏好，它將每個人的效用組成的向量轉化為一個社會效用。伯格森理論基於基數效用概念，阿羅認為不難用序數效用概念重新表述。赫爾墨請阿羅寫一個詳細說明，當阿羅着手寫的時候，發現該問題，就是兩年來一直困擾着他的問題。既然“少數服從多數”一般來說不能將個人的偏好加總為社會偏好，也許還會有其他方法。幾次碰壁之後，阿羅的直覺告訴他，結果可能正相反。很快，阿羅就得到了這一與預想相反的結果。幾周后，阿羅對該結果用他在紐約學到的數理邏輯方法作了嚴格證明。於是，二十世紀最偉大的經濟學理論之一就此誕生了。 古典經濟學中的“看不見的手”原理表明，市場能夠讓每個人在實現個人私利最大化的同時產生公共利益。現代經濟學理論表明，充分競爭的市場能夠通過個人私利最大化行為，實現整個社會的資源有效配置，即公共利益。但市場只適用於私有物品，它不適用於公共物品。對公共物品的生產和消費，只能採用社會選擇。那麼，有沒有一種非市場的社會選擇規則，能使該選擇從個人私利的最大化得出公共利益呢？或者說使國家利益與個人利益一致，從而實現共同繁榮強國富民呢？ 阿羅對上述問題給出了一個嚴格的表述：即給定一些最普遍的的條件，有沒有一種社會選擇的規則存在，能夠同時滿足所有這些條件？這裡社會選擇指的就是由給定的個人偏好得出公共的或社會的偏好的規則。阿羅給出了從個人偏好得到社會偏好的五項必備條件： 首先，是理性原則，也稱為傳遞性和完全性。簡單地說，對於任何一組給定的個人偏好來說，社會選擇應該是可傳遞的。也就是說，對一組給定的個人偏好而言，Ｘ＞Ｙ＞Ｚ，那Ｚ不能大於Ｘ，這就是傳遞性。完全性說的是，社會選擇必須產生一個秩序：即對任何兩個可供選擇的個人偏好Ｘ、Ｙ，任何一個人的選擇必須是Ｘ＞Ｙ，Ｘ＝Ｙ，或者Ｙ＞Ｘ，不能有別的選擇。 第二，是獨立原則。Ｘ、Ｙ是兩個選擇方案，若個人關於Ｘ、Ｙ的相對偏好不改變，那麼無論他關於Ｘ、Ｙ以外的個人偏好是否發生了變化，社會關於Ｘ、Ｙ的選擇也不應改變。這就保證了社會偏好的順序是由個人的偏好而來的。 第三，帕累托準則。在一個社會中的所有人都認為Ｘ＝Ｙ，即Ｘ和Ｙ沒有差別，但只要有一個人認為Ｘ＞Ｙ，則社會必須認為Ｘ＞Ｙ。它雖然不符合少數服從多數的原則，但是卻肯定了個人偏好的價值。 第四，非獨裁原則。不存在這樣一個人，他可以不論社會全體成員的個人偏好如何，讓社會的的偏好總是和他個人的偏好一致。也就是說，沒有一個人可以規定其他個人的偏好。從經濟分析上來看，即任何個人都不能制定市場價格。 第五，無限制性。社會中的每個人都可以有他自己的偏好，而不受限制。不能出現這樣的情況，即一部分人的偏好不被考慮、計算到整體的社會選擇中，或者說一部分人因為他們的偏好被剝奪政治參與的權利。 這五個條件界定了從個人偏好導出社會偏好，從而決定社會偏好，實現公共利益所必須滿足的要求。阿羅研究的結果卻出人意外：任何社會選擇規則，要同時滿足上述所有五個條件是不可能的。這就是著名的阿羅不可能定理。 阿羅不可能定理指出任何公共選擇規則，都不可能做到公共利益與私利的兼容。阿羅不可能定理是不是意味着任何公共選擇都是沒有意義的呢？不，它只是指出，公共選擇不能實現以私利為基礎的公共利益。若能用市場規則，就要儘可能地用市場規則，公共選擇應儘可能地少用。也就是說要儘可能地使人類事務沿着市場機制去運行。對於政府來說，越小的政府越可取。事實上，無論如何，許多人類事務依然依賴於公共選擇。因為充分競爭的市場也會失效。因此，如何讓公共選擇兼容於私利與公共利益，就非常有意義了。 公共選擇的數學理論背後的倫理暗示，也是很有意義的。為了在政治進程中產生理性的社會選擇、公共選擇，好象只有限制個人選擇一條途徑：公共選擇的必備條件５，無限制性必然帶來產生悖論的可能；這說明完全放任的自由會導致集體的不理性，集體的理性存在，必須在個人選擇上做出限制，使個體之間達成共識。也就是說，我們不能要求社會選擇像買彩票一樣，聽任機率的選擇，而要主動加以干涉和限制。無論是教育、互惠和溝通帶來的妥協或共識，甚至採用一定的強制手段。 社會選擇中最常見的就是投票。現有的民主的投票制度有三種：一是全體一致的投票制；二是多數票制；三是否定個體平等的加權和需求顯示法。投票是公共領域裡從個人偏好得出公共偏好、即從個人私利得出公共利益的最好的機制。自由的投票規則有三個特點：一是讓投票來從個人偏好得出集體偏好；二是所有投票者對可能的方案有充分的了解；三是每個投票者都是獨立地進行投票。 一致同意在小範圍內可能實現，在大範圍內成本太高。多數規則有一個問題：就是在多項選擇的情況下，多數法則可能給出多個解，最終解如何，取決於投票程序。因此，多數法則存在着某種內在的不一致性，這就是投票悖論。阿羅的不可能定理表明，任何一種公共選擇的投票方法都不能完全解決投票悖論，因為任何公共選擇規則都不可能滿足他所提出的五項條件。 這個結果的推論是：一個社會不可能有完全的個人自由，也不可能實現完全的自由經濟。這一結論令人震驚，這到底是人們對社會的認識的一個新高度呢，還是一個新的謬論呢？阿羅不可能定理一經問世，就是經濟學家和政治學家爭論的論題。阿羅不可能定理對政治哲學和經濟學產生了巨大的衝擊。一些有名的經濟學家，薩繆爾森（Ｐ Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ）和黃有光就曾著文反駁阿羅不可能定理。但阿羅不可能性定理經受住了所有技術上的批評，其基本理論無懈可擊，於是，阿羅不可能定理成了經濟學家和政治學家面前的一個不可逾越的障礙。怎樣加總社會個體的偏好，怎樣找出令人滿意的評價不同社會形態的政治經濟理論，就成了一個難題。 總之，只有儘可能地避免社會選擇，充分地利用市場機制，才能從個人偏好得出社會偏好，才能使公共利益兼容個人私利，才能不傷害每個個人的私利，進而能從個人私利出發，為社會利益服務。但市場機制是有限的，很多情況下，我們非得使用非市場規則來從個人偏好得出社會偏好。與市場規則相比，非市場規則最大的缺陷是它不能形成不損害個人私利的公共利益。由於投票悖論的存在，從個人偏好得出社會偏好是不可能。也就是說，任何非市場選擇，都不能滿足阿羅不可能定理，因此投票政治（民主政治的基礎，現代社會一切政權合法性的基礎）不能替代市場。投票政治要儘可能地讓位於市場，人類社會要儘可能地建立在市場基礎上，壓縮社會選擇，對社會選擇實施憲政制約，才能會有好的、公平的社會。換句話說，好的經濟、公平的經濟是市場經濟；好的社會、公平的社會應該是小政府，大市場。 haobuhao: 名副其實的不懂，但看起來挺有意思。 針對 "第三，帕累托準則。在一個社會中的所有人都認為Ｘ＝Ｙ，即Ｘ和Ｙ沒有差別，但只要有一個人認為Ｘ＞Ｙ，則社會必須認為Ｘ＞Ｙ。它雖然不符合少數服從多數的原則，但是卻肯定了個人偏好的價值。", 較勁一下。 "任何一個人的選擇必須是Ｘ＞Ｙ，Ｘ＝Ｙ，或者Ｙ＞Ｘ，不能有別的選擇": 這個規定本身將量化（x=y)與非量化（>, <)混在一起。所謂量化，我意思是，x, y比較多大程度上的>, <. 比如， x = y + 1, x = y + 2, 都意味x > y， 但後者x得分更高。x = y 意味着二者得分一樣。 所以，當"所有人都認為Ｘ＝Ｙ", 這意味着多數（實際上全部）選擇"x=y"這條？還是認為x, y得分相同？我看後者更合理。 再舉個例子。多數選x>y但都認為x, y 差別無幾, 少數選x 量化（x=y)與非量化混在一起，就會出現似乎不合理的現象。 從量化出發，就不要談少數服從多數。 所以"第三，帕累托準則"的實際意思應該是，選x=y的被當成棄權。。。那句評論“它雖然不符合少數服從多數的原則”不恰當. 求助高手： 貌似用邏輯推了半天，還是在最後一段里被偷換了。 哈瑞： 福利社會主義的趨勢使得大政府成為必然。結論：好的社會、公平的社會是大政府，大市場。
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