淺談黎曼度量的計算問題

Original 顧險峰 老顧談幾何 2024年05月22日 05:16 美國

顧險峰教授（1970年11月2日—）、自2004年起是美國紐約州立大學計算機科學系終身教授。美國哈佛大學數學與應用中心客座教授，清華大學丘成桐數學中心客座教授。  1989年-1994年在清華大學學習理論計算機，1995-1996年獲哈佛大學計算機科學碩士學位，其時導師為David Mumford。博論是Siggraph的Arbitrary Topology三維曲面參數化， 師從國際著名微分幾何大師丘成桐先生。

***

2024年初夏，春季學期剛剛結束。很多老友前來波士頓、紐約一帶，或者科技考察，或者商務訪問。紐約的清華校友也自發地組織起來慶祝母校113年的生日，順便與老友敘舊。在曼哈頓，清華校友和北大校友都開設了主題酒吧，被本地土著暱稱為清華食堂和北大食堂，一時間名動紐約，賓客如雲，一座難求。我們幾經周折，最後終於預訂在北大食堂-帝國大廈下面的胡桃里音樂酒館。這裡吧檯舞池，輕歌曼舞，美酒佳餚，觥籌交錯。舞台上，聚光燈下的駐唱歌手，一襲白裙，邊彈邊唱列儂的“Imagine”，卡朋特的“Yesterday Once More”，纏綿悱惻的歌詞被激光投影到樓梯和牆壁之上，懷舊惆悵，莫名憂傷，頗有舊時燕園的氣息。

老友們面酣耳熱，滿面紅光，交流人生心得，縱論天下時局。大家都對AI的顛覆式發展憂心忡忡，希望能夠為年輕一代選擇一個很難被AI取代的學術方向，同時也為子女是否應該攻讀博士學位而猶豫。筆者傾向於認為大多數淺層次的智力勞動很快會被AI所承擔，年輕人求學期間儘量學習更為深刻的理工科方向，才能保證長期的核心競爭力。

在近期，筆者遇到很多老朋友，他們一直奮鬥在科技產業的第一線，是他們所在領域的行業翹楚。他們對於現代科學技術的發展具有敏銳的洞察力和前瞻性，對於基礎科學極其尊重，一直在孜孜不倦地學習新近數學理論的突破，並且力圖融入到他們所處的產業之中。例如，筆者陪同一位朋友遊覽長島的黃金海岸，聊天中得知這位朋友每天都在午夜時分結束了一天的工作之後，抽出一個小時學習里奇曲率流理論；另一位朋友，多少年來一直苦心鑽研，力圖參透扭結背後的內在原理；還有一位校友，總在百忙之餘追蹤層出不窮的AI理論，力圖從數學層面來解釋AI機理。這些朋友們的科學素養與品味，對於科學不懈的追求，令筆者非常欽佩和感動。同時和這些朋友們的深度思想交流，令筆者堅信，有這樣一批中堅力量，中國科技事業的騰飛指日可待！

很多老友們詢問筆者近期在做什麼，其實筆者的研究工作一直圍繞同一個主題：黎曼度量的計算問題，這是一個介於基礎數學和應用數學之間的問題，一方面具有強烈的理論價值和美學價值，另一方面也具有巨大的實用價值。黎曼度量是微分幾何的核心概念，計算黎曼度量自然具有根本的重要性，也具有本質的難度。很多工程領域的基本問題，例如計算機圖形學中的曲面紋理貼圖，計算機視覺中的形態識別，動態追蹤，自動駕駛，工業軟件中的幾何建模，網格生成，和醫學圖像領域中的基本問題，例如器官配准，癌症診斷等等最終都歸結為求取某種黎曼度量。但是，傳統的數值計算方法，例如有限元方法、有限體積法等等無法直接用於計算黎曼度量。在過去的二十年裡，筆者的研究工作一直是力圖發現新理論、發明新算法來計算黎曼度量。最終的理論工具來自丘成桐先生創立的幾何分析方法，即在黎曼流形上解非線性偏微分方程。 

黎曼度量的計算問題可以簡單歸納為下面幾個問題：1. 給定拓撲，如何計算流形的標準黎曼度量，例如常值曲率度量；2. 給定曲率，如何計算滿足曲率條件的黎曼度量；3. 給定特定條件，例如和樂群，如何計算滿足條件的黎曼度量；4. 給定黎曼度量，如何計算流形的等距嵌入。針對不同維數的流形，不同拓撲的流形，不同要求的問題，我們需要用到不同的基礎理論和不同的計算方法。並且，無論從基礎理論層面還是實用算法層面，這些問題都遠未解決，有待基礎數學家、應用數學家、計算機科學家和工程師們的持續探索。 

曲面度量的計算

曲面上黎曼度量的計算問題目前發展相對成熟，其基礎數學的理論基礎早在一百多年前就已經奠定：克萊因（Felix Klein）在1883年、龐加萊（Henri Poincare)在1882年分別提出黎曼面（代數曲線）的單值化猜想，龐加萊和Koebe在1907年分別給出嚴格的證明。曲面單值化定理是說任何帶有黎曼度量的曲面，都可以保角變形成常高斯曲率曲面；換言之，任何帶度量的曲面都可以（周期性地）保角映射到三種標準空間中的一種：單位球面（零虧格曲面），歐氏平面(壹虧格曲面)，雙曲圓盤（高虧格曲面）。雖然這一定理非常古老，但是非專業數學背景的普羅大眾理解起來依然困難重重。最為本質的障礙在於雙曲曲面雖然客觀存在，但是無法在三維現實空間中實現，因而無法被人類感官所感知，只能仰仗抽象思維。

凸曲面度量的計算

凸曲面的黎曼度量計算問題相對簡單，其基礎理論在1950年代由俄羅斯學派建立，主要包括閔可夫斯基（Minkowski）問題，亞歷山大（Alexandrov）問題和偉伊（Weyl）問題，高維推廣由丘成桐先生，Nirenberg，Pogorelov在1970年代完成。

閔可夫斯基問題：給定一個光滑凸曲面嵌入在三維歐式空間中，通過高斯映射，我們將曲面上任意一點映到該點處的單位法向量，由曲面的凸性，高斯映射是微分同胚。我們可以用高斯球面來參數化凸曲面。我們將曲面的高斯曲率通過高斯映射前推到高斯球面上，得到球面上一個正值函數。如果給定高斯曲率函數定義在高斯球面上，如何反求凸曲面形狀（從而得到曲面的黎曼度量）？

閔可夫斯基問題離散化之後等價於給定凸多面體每個面的法向量和面積，反求凸多面體。我們將每個面的高度設為變量，高度與面積的加權和為常數，極大化多面體的體積，如此可以求得凸多面體。

圖1. 用球面最優傳輸映射求解亞歷山大問題：通過高斯曲率反解凸曲面。

亞歷山大問題：假設原點在凸曲面內部，我們用極坐標表示凸曲面，即凸曲面被表示為定義在單位球面上的徑向函數。我們將凸曲面的高斯曲率視為定義在單位球面上的正值函數。如果給定高斯曲率函數定義在單位球面上，如何反求凸曲面形狀（從而得到曲面的黎曼度量）？

亞歷山大給出解的存在性證明依賴於代數拓撲方法，而非構造性算法。筆者團隊在2019年給出了亞歷山大問題的構造性算法。令人驚訝的是凸微分幾何的亞歷山大問題等價於概率統計中的球面最優傳輸問題，而最優傳輸理論又是生成式AI的理論基礎。如圖1所示，單位球面上定義了兩個測度，一個是高斯曲率定義的測度，一個是傳統的豪斯道夫測度，存在唯一的最優傳輸映射最為經濟地將一個測度變換成另外一個測度，而這個傳輸映射由某個凸徑向函數的廣義梯度映射給出，這個凸徑向函數就是亞歷山大問題的解。並且，這個定理可以向任意維直接推廣。

韋伊問題：在單位球面上給定一個黎曼度量，滿足高斯曲率恆正，求曲面在三維歐式空間中的等距嵌入。韋伊問題比亞歷山大的問題困難一些，因為曲面的參數化未定，所有可能的曲面參數化構成了球面的微分同胚群，過於龐大。這個問題的離散化提法如下：我們有一個零虧格的三角網格（二維單純復形），給定邊長使得在每個面上滿足三角形不等式，同時每個頂點的離散高斯曲率為正，求每個頂點在三維歐式空間中的坐標，使得每條邊長等於兩個頂點間的歐式距離。一種嵌入的算法思路如下：假設我們得到了三角網格在歐式空間中的實現，那麼其內部是一個凸多面體，選定多面體的中心，從中心向每個頂點連接直線，多面體被分割為多個四面體，每個三角形對應一個多面體。反之，為網格中的每個三角形構造一個四面體，滿足相容性條件，即不同四面體中連接相同頂點到中心的邊長彼此相等，然後將所有四面體粘成一個帶有錐奇異點的歐式三維流形。我們將頂點到中心的距離設為變量，定義在所有帶有錐奇異點的歐式度量構成一個有限維空間。考察定義在這個空間上的希爾伯特-愛因斯坦能量。希爾伯特-愛因斯坦能量的梯度就是定義在每條邊上的離散里奇曲率。困難在於，這個能量既非嚴格凸也非嚴格凹，但是沿着歐式度量構成的空間中特定的路徑，希爾伯特-愛因斯坦能量的Hessein矩陣非奇異，內部邊長到離散里奇曲率的映射可逆。我們可以反解，通過零里奇曲率求得內部邊長。

圖2. 曲面單值化定理。

曲面單值化度量

單值化定理是曲面微分幾何中的最為重要而基礎的定理，因此尋找單值化黎曼度量的計算方法一直是數學家和計算機科學家努力追求的目標。筆者在丘成桐先生的指導下攻讀博士期間就開始了這方面的研究。在過去二十年間，德國學派、法國學派、美國學派、以色列學派和中國學派的學者展開了極其激烈的競爭，最終丘成桐先生領導的中國學者們在2018年於微分幾何期刊上發表了離散單值化定理的完整證明，從而正式奠定了算法的理論基礎。在漫長的學術競爭中，筆者和合作者們走過了崎嶇蜿蜒的探索之路，也經歷了難以想象的來自其他學派的巧取豪奪，暗箭明槍，整個過程可謂跌宕起伏，驚心動魄。所幸在基礎定理被證明110年後，嚴格的離散算法被發明出來，這再一次驗證了基礎理論具有前瞻性，從理論到技術往往經歷數十年乃至上百年。 

對於虧格為零的封閉曲面，在丘先生的指導下，筆者在博士論文中提出了基於曲面調和映照理論的方法求解常曲率度量。具體而言就是首先計算曲面的高斯映射，然後計算映射的Laplacian，調節映射減少調和能量，同時用莫比烏斯映射保持映射像的質心在單位球面的球心。最後，我們會得到唯一的調和映射。這一調和映射的Hopf微分是全純二次微分，而零虧格封閉曲面的全純二次微分必然為0，從而調和映射必為保角映射。

對於虧格為壹的封閉曲面，丘先生與筆者同樣在博士論文中發明了基於Hodge理論的全純微分形式的算法。Hodge理論是連接拓撲和分析的偉大定理：在每一個de Rham上同調類中，存在唯一的調和微分形式。我們通過計算拓撲方法，可以求得曲面的上同調群的基底，然後在給定上同調類中，通過求解橢圓型線性偏微分方程，求得對應的調和微分形式。每一個調和微分形式有一個共軛調和微分，它們一同構成了全純微分形式。全純微分所誘導的黎曼度量就是曲面的單值化度量，即歐氏度量。 

對於高虧格的封閉曲面，情形複雜很多，調和映照理論和Hodge理論無法直接給出算法。為了證明龐加萊猜想，在1970年代後期，在丘先生的建議和合作下，哈密爾頓教授（Richard Hamilton）提出了里奇流理論（Ricci Flow）。里奇流依據曲率來變形黎曼度量，使得形變速度正比於當前的曲率，曲率依隨時間的演化滿足擴散-反應方程，如果擴散項占優，曲率會收斂到常值；如果反應項占優，在有限時間內，在流形的某些點處會出現曲率爆破現象，這時候，我們將流形沿着爆破處切開（手術），將切開後的每一片接着用里奇流變形。哈密爾頓教授在1982年、筆者的師兄Ben Chow在1991年證明了曲面里奇流最終會收斂到常值曲率度量。經過多年的探索，我們將曲面里奇流理論從光滑流形推廣到離散流形上面，在2018年證明了離散曲面里奇流會收斂到雙曲度量，這時據哈密爾頓教授的理論工作相距了36年。 

瑟斯頓（Bill Thurston）在1980年代初期，為了研究三維流形的拓撲，也思考過類似的問題。他用圓盤填充方法（circle packing）給出了組合意義下，單值化度量的算法。但是瑟斯頓方法有兩個局限：首先，任意給定一個離散曲面具有初始黎曼度量和初始三角剖分，我們無法找到一個圓盤填充與之吻合；更為嚴重的是如果目標曲率不滿足一系列的組合不等式，那麼圓盤填充的方法無法給出目標黎曼度量。因此瑟斯頓的方法無法真正達到實際應用要求。數十年間，很多學派的學者都在嘗試各種改進方法，保證解的存在性，論文汗牛充棟，但是一直無法實現真正意義上的突破。筆者與合作者們後來意識到問題的關鍵所在：所有的傳統方法在里奇流過程中，都保持三角剖分固定不變；而從幾何而言，黎曼度量是本質，三角剖分是從屬於度量，應該依隨度量變化而變化，在里奇流過程中，三角剖分應該隨之自然演化。思想轉變之後，一切理論問題迎刃而解。我們建立的離散曲面里奇流理論適用於任何複雜的拓撲，和更加一般的目標曲率，只要目標曲率滿足高斯-博納定理（Gauss-Bonnet），那麼里奇流一定會算出滿足要求的共形度量。 

滿足和樂條件的黎曼度量

近年來，依隨新能源汽車產業的興起，工業軟件即CAD/CAE領域日益受到重視。CAD/CAE領域中的一個基本問題是構造複雜曲面的結構化四邊形網格，這等價於計算曲面的一個帶有錐奇異點的共形平直度量，使得這個度量的和樂群滿足特定條件。自從1970年代CAD技術的誕生之日起，這一問題一直困擾着龐大的製造工業，無數的應用數學家和工程師一直尋找四邊形網格奇異點所滿足的微分方程。筆者團隊在2021年左右發現這個問題等價於黎曼面上全純線叢示性類問題，從而用代數曲線中的阿貝爾-雅可比理論加上里奇流理論加以解決。其實，阿貝爾理論誕生於1820年代，這再一次證明了基礎數學的前瞻性。同時，這一CAD/CAE領域中的基本問題歷經50多年才被解決，這也證明了透徹理解工程領域基本問題、找到恰當的理論工具加以解決的內在難度。

三維流形的黎曼度量計算

三維流形的情形可以被視為曲面情形的直接推廣，但是理論層面和算法層面都複雜了很多。主要的原因在於絕大多數三維流形都無法在現實世界中實現，日常生活經驗無助於建立三維流形理論的直覺，試圖理解三維流形的定理需要強大的空間想象能力和比較深入的拓撲幾何背景知識。很多時候，當直覺尚未建立起來的時候，只能依靠邏輯推理。

早期三流形拓撲的研究手段主要是組合，其思想是將一個流形沿着特定曲面切開得到兩塊，每一塊的拓撲都比原來的流形簡單。這要求分割的曲面滿足所謂的不可壓縮條件，即如果曲面上有一個圈，能夠在背景三維流形上縮成一個點，那麼這個圈在曲面上也能縮成一個點。這等價於包含映射將曲面的基本群映入到三維流形的基本群，這個群同態是單射。我們遞歸地將每一塊再繼續切割下去，直至無法找到不可壓縮曲面。這種分而治之的策略依然無法令人深刻地理解三維流形的拓撲。另外一種方法是Dehn手術，就是從三維流形上挖去一個實心輪胎，將輪胎表面扭轉後再粘回去，如此就改變了流形的拓撲。從三維球面出發，經過Dehn手術，我們可以生成所有的閉3流形。

1980年代，瑟斯頓提出了幾何化綱領，通過幾何來幫助理解拓撲，徹底革命了整個三維流形拓撲領域。三維流形的幾何化綱領是曲面單值化定理的推廣：三維流形先沿着球面（球面的內部和外部不是三維圓盤）切開，分解成所謂的素流形。米爾諾證明了這種分解的唯一性。素的三維流形再沿着不可壓縮的環面（輪胎面）切開（JSJ分解），最後得到的三維流形上可以配備八種標準幾何中的一種。瑟斯頓自己在哈肯流形情形證明了幾何化猜想。哈密爾頓提出了基於帶手術的里奇流綱領來證明幾何化猜想。2003年，佩雷爾曼沿着哈密爾頓的綱領證明了幾何化猜想，但是缺少關鍵的證明細節。

從計算角度而言，素流形分解和JSJ分解算法的核心是找到不可壓縮球面和環面，這可以通過組合方法求得，但是目前的算法將三維流形用單純復形來表示（四面體網格），然後計算所有可能的正規曲面，從中挑選不可壓縮曲面。正規曲面的個數與四面體個數呈指數關係，因此這種組合算法複雜度是NP。尋找不可壓縮曲面的高效算法是目前一大瓶頸問題。JSJ分解後得到的帶邊三維流形，下一步就是計算這種流形上的標準黎曼度量。

圖 3. 環面扭結和衛星扭結。

瑟斯頓給出了如下的經典算法：JSJ分解後的三維流形邊界是拓撲環面，絕大多數情形下標準黎曼度量是具有有限體積、完備、帶有尖點的雙曲度量，尖點的鄰域邊界為3-流形的邊界環面，雙曲度量限制在邊界環面上成為歐氏度量，邊界環面為三維雙曲空間中的horosphere。瑟斯頓將3-流形進行三角剖分，得到理想雙曲四面體，理想四面體的頂點都在無窮遠處，粘合後這些頂點構成3-流形的尖點；然後將每個理想雙曲四面體的頂點用horosphere截除，得到截頭理想雙曲四面體；切除的頂點鄰域粘合後構成一個實心輪胎，其邊界為帶有歐氏平直度量的拓撲環面。所有可能的理想雙曲四面體構成的形變空間為兩維，每個理想雙曲四面體用一個復變量來表示。所有的理想雙曲四面體粘合後滿足兩個條件：曲率條件和完備條件。所謂曲率條件就是說粘合後得到的雙曲四面體網格的每條邊上離散里奇曲率為零；所謂完備條件就是說理想雙曲四面體的截頭部分粘合後構成了環面，雙曲度量在其上面限制為環面的單值化歐氏度量。我們通過這兩個條件建立所有復變量的代數方程組。瑟斯頓證明這一代數方程組解的個數有限。我們通過求解這個代數方程組，從而得到3-流形的雙曲度量。

圖4. 最簡單的雙曲扭結：8字扭結。

瑟斯頓方法在研究扭結的拓撲方面取得了巨大的成功。扭結一直是低維拓撲的核心研究課題，如何判斷兩個扭結是否本質相同（即扭結的同痕問題）實際上超越人類的直觀經驗。瑟斯頓證明除了所謂的環面扭結和衛星扭結（圖3所示）外，所有扭結的補空間都是雙曲的，可以通過補空間的雙曲幾何來識別。例如，圖4顯示了一個登山時常用的經典8字扭結（兩端在無窮遠處連接起來）。整個三維歐氏空間挖掉這個扭結之後剩餘的空間是一個雙曲三維流形。

圖4.  8字扭結補空間的三角剖分。

瑟斯頓看出8字扭結補空間可以由兩個截頭四面體粘和而成，圖4顯示了這兩個四面體的粘和方式，同樣顏色的兩個面粘和，粘和的面上箭頭個數與方向一致的兩條邊粘和。如此扭曲粘和之後所得到的四面體網格只有一個頂點，兩條邊。每一個初學3-流形拓撲的人，首次看到8字扭結補空間居然可以這樣進行三角剖分，都無比震驚。對於瑟斯頓的空間洞察力都覺得 不可思議。

圖5. 實心球挖掉3個蟲洞，雙曲3-流形邊界是完備雙曲曲面。

離散曲面里奇流方法也可以推廣到三維流形情形。例如，對於雙曲三維流形，其邊界為完備的雙曲曲面（圖5所示），筆者團隊給出了離散3流形里奇流方法，計算雙曲度量。首先，我們將三維流形三角剖分，分解成雙曲四面體，但是每個頂點用雙曲平面截除。我們將所有邊長設為未知變量，優化希爾伯特-愛因斯坦能量，其梯度流就是離散里奇曲率流。里奇流最終給出3-流形的雙曲結構，如圖6所示。這種方法可以推廣到更加一般的雙曲三流形上面，特別地，離散曲面里奇流本質上也是在特殊雙曲三維流形優化希爾伯特-愛因斯坦能量。

圖6. 由里奇流得到的3-流形的雙曲結構。

與2018年以前，離散曲面里奇流理論類似，三維流形黎曼度量計算面臨着同樣的問題：如何選取合適的三角剖分！如果三角剖分選取的恰當，則瑟斯頓算法或者里奇流算法會收斂到標準度量；否則，優化過程中會出現退化的四面體，算法終止。目前，即便是對於扭結的補空間，良好的三角剖分是否存在，理論上沒有定論，算法層面也無法保證。這個領域的研究依然任重道遠。另一方面，由於三維流形理論比較艱深，算法尚未成熟，目前在工業界還沒有找到關鍵應用。但是筆者相信CAD/CAE領域中的一些艱深的基礎問題，最終的解決方案必然涉及到三維流形的黎曼度量計算。

二維、三維流形的黎曼度量計算方法比較

固定二維曲面的拓撲，所有的黎曼度量可以分成共形等價類，所有的共形等價類構成有限維的空間，即Teichmuller空間。每一個共形等價類裡面，存在唯一的單值化度量。三維流形具有所謂的Mostow剛性，即標準黎曼度量由其拓撲結構所決定。更為精確的表述是具有有限體積的雙曲3流形，其幾何由其基本群所決定。對於帶邊界的雙曲3流形，其內部的雙曲結構由其邊界曲面的共形結構所決定。因此，對於曲面計算而言，我們需要高密度的三角剖分，並且帶有初始黎曼度量，從而決定其共形結構；對於封閉3流形，我們不需要初始度量，同時儘量簡化三角剖分，根據剛性定理，只要保持流形的拓撲不變，計算的雙曲度量也不變。但是對於帶邊3流形，我們需要邊界的高密度三角剖分和初始度量，從而決定邊界的共形結構，從而從邊界曲面的共形結構計算得到3流形內部的雙曲度量。

小結

黎曼度量是微分幾何的核心概念，黎曼度量的計算問題具有根本的重要性。圍繞這個主題，我們需要深入理解掌握各種數學理論，並且將傳統理論從光滑流形推廣到離散流形，從基於拓撲的存在性證明深化到基於變分的構造性證明。

在過去的十數年間，筆者每年暑期都會開設《計算共形幾何》的公開課，講解相關的理論和算法。今年，全世界都在聚焦於新能源汽車行業，從而帶動CAD/CAE領域迅猛發展。工業軟件的各個公司都在招收具有幾何能力的人才。我們曾經討論過的幾何算法逐步被工業界所採納，融入到標準的幾何處理流程之中。為了更進一步解決更為深入的問題，如果時間允許，我們今年會適當增加三維流形的黎曼度量計算內容。