希爾伯特空間和量子邏輯的非分配性

程明, 物理學博士， 曾在《自然》，《物理評論通訊》PRL 等世界頂尖學術雜誌上發表過 10 多篇論文，被多本教科書，,以及諾獎獲得者引用。曾在美國硅谷多家高科技公司工作，著有《留美專家談電子商務》，廣東人民出版社，2000年，和 《有機分子的電子晶體學》，Springer, 2012， (章節作者)。《怎樣成為美國名校的體育生》2024.. 曾海歸在南京大學，武漢大學任教和擔任研究生指導老師。 

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在物理和數學發展的早期，數學與物理幾乎是不可分割的，彼此交織在一起。然而，隨着純數學的獨立發展，這兩者似乎漸行漸遠。但如今，它們又有重新走到一起的趨勢。今天，我們將探討一個非常有趣的現象：希爾伯特空間和量子邏輯中共同存在的非分配性。量子邏輯的非分配性純粹來自於物理，即對物理系統 G 進行完整的數學描述，通常也無法使人們能夠確定地預測結果 [1]。而希爾伯特空間的非分配性與其數學結構有關。

希爾伯特空間

希爾伯特空間在量子力學中具有關鍵作用。量子力學的數學框架主要依賴於希爾伯特空間的結構和性質。以下是一些重要方面：

1，量子態

在量子力學中，系統的狀態被表示為希爾伯特空間中的向量，稱為態向量。這些向量可以描述系統的所有可能狀態。

2，波函數

波函數是描述量子系統狀態的工具，它可以看作是希爾伯特空間中的一個向量。波函數的平方模給出了粒子在不同位置出現的概率。

3，算符

物理量（如位置、動量、能量）在量子力學中被表示為作用在希爾伯特空間上的線性算符。這些算符可以改變態向量，從而描述系統的演化。

4，薛定諤方程

薛定諤方程是描述量子系統隨時間演化的基本方程。它可以看作是希爾伯特空間中的一個微分方程，描述態向量如何隨時間變化。

5. 量子計算

特別在量子計算中希爾伯特空間是其理論的核心和基礎。量子比特（qubits）的狀態和操作都可以用希爾伯特空間中的向量和算符來表示。量子算法利用這些向量和算符來進行計算。

但是，今天我們要談的是，希爾伯特空間和量子邏輯的關係。特別在其共有的非分配性質。非分配性是量子邏輯最重要的特徵。 它將量子邏輯和經典邏輯區分開來。

希爾伯特空間是一個帶有內積的向量空間，該內積導致了一個距離函數，使得該空間成為完備度量空間。‘

希爾伯特空間的閉子空間。 希爾伯特空間的閉子空間是指在希爾伯特空間中，具有閉合性質的子向量空間。具體來說，如果一個子空間在希爾伯特空間的範數誘導的拓撲下是閉集，那麼這個子空間就是閉子空間。

關於希爾伯特空間閉子空間的交集和併集

1. 交集：設H是希爾伯特空間，而A和B是H的兩個閉子空間。如果A和B的交集也是閉的，那麼它在希爾伯特空間H中也是閉的。這是因為希爾伯特空間是完備的，所以任何柯西序列都收斂到H中的某一點。因此，A和B的交集中的柯西序列也會收斂到H中的某一點，從而保持閉性。

3. 併集：然而，A和B的併集不一定是閉的。考慮一個簡單的例子：在實數空間ℝ上，取A為正實數軸，B為負實數軸。這兩個子空間都是閉的，但它們的併集是整個實數空間ℝ，而ℝ不是閉的。因此，希爾伯特空間的閉子空間的併集不一定滿足經典邏輯中的分配律。

顯然，希爾伯特空間的閉子空間的交集是閉的，但併集不一定是閉的。這與經典邏輯中的分配律不完全一致，[7]

總而言之，希爾伯特空間和量子邏輯之間有着深刻的聯繫，特別是在它們都不滿足經典邏輯中的分配律,  下面我們總結一下。

總結：

希爾伯特空間中的非分配性

在希爾伯特空間中，量子態表示為向量，物理量表示為算符。希爾伯特空間的閉子空間（即量子態的集合）在進行併集操作時，不一定滿足經典邏輯中的分配律。具體來說，對於三個閉子空間 (A)、(B)、(C)，併集操作不一定滿足以下等式：

這種非分配性對應於量子態的疊加和測量的獨特性質。

量子邏輯中的非分配性

量子邏輯是一種為了描述量子力學中的命題而發展起來的邏輯系統。在經典邏輯中，命題的邏輯運算（如“與”和“或”）滿足分配律。然而，在量子邏輯中，這些運算不再滿足分配律。其物理來源是，即使對物理系統 G 進行完整的數學描述，通常也無法使人們能夠確定地預測結果 [1]， 而其在數學上的對應是，這是因為量子命題對應於希爾伯特空間中的閉子空間，而這些閉子空間的併集和交集操作不滿足經典分配律。

關係與設計

有一種意見是，這兩種非分配性的一致並非巧合，而是量子邏輯設計中的一個核心特徵。量子邏輯的設計初衷是為了更準確地描述量子系統的行為，因此它在某些方面故意偏離了經典邏輯的規則。希爾伯特空間的數學結構自然地反映了量子邏輯的這些特性。儘管如此，但這還是一件非常有意義的事情，這表明了物理和數學具有的深刻的內在關係。而不是數學只是物理的工具。

通過這種方式，希爾伯特空間和量子邏輯在描述量子系統時表現出一致性，特別是在處理量子態和量子測量時。這種一致性幫助我們更好地理解量子力學的基本原理。

參考資料：

[1] The Logic of Quantum Mechanics。 Garrett Birkhoff; John Von Neumann
The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 37, No. 4. (Oct., 1936), pp. 823-843

[2] 量子論邏輯_百度百科 (baidu.com)

[3] 希爾伯特空間 wiki

[4] Pulmannová, S. Quantum logics and hilbert space. Found Phys 24, 1403–1414 (1994). https://doi.org/10.1007/BF02283040

[5] Gudder, S.P. An introduction to Hilbert space and quantum logic by David W. Cohen.. Found Phys Lett 2, 503–504 (1989). https://doi.org/10.1007/BF00689817