希尔伯特空间和量子逻辑的非分配性

程明, 物理学博士， 曾在《自然》，《物理评论通讯》PRL 等世界顶尖学术杂志上发表过 10 多篇论文，被多本教科书，,以及诺奖获得者引用。曾在美国硅谷多家高科技公司工作，著有《留美专家谈电子商务》，广东人民出版社，2000年，和 《有机分子的电子晶体学》，Springer, 2012， (章节作者)。《怎样成为美国名校的体育生》2024.. 曾海归在南京大学，武汉大学任教和担任研究生指导老师。 

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在物理和数学发展的早期，数学与物理几乎是不可分割的，彼此交织在一起。然而，随着纯数学的独立发展，这两者似乎渐行渐远。但如今，它们又有重新走到一起的趋势。今天，我们将探讨一个非常有趣的现象：希尔伯特空间和量子逻辑中共同存在的非分配性。量子逻辑的非分配性纯粹来自于物理，即对物理系统 G 进行完整的数学描述，通常也无法使人们能够确定地预测结果 [1]。而希尔伯特空间的非分配性与其数学结构有关。

希尔伯特空间

希尔伯特空间在量子力学中具有关键作用。量子力学的数学框架主要依赖于希尔伯特空间的结构和性质。以下是一些重要方面：

1，量子态

在量子力学中，系统的状态被表示为希尔伯特空间中的向量，称为态向量。这些向量可以描述系统的所有可能状态。

2，波函数

波函数是描述量子系统状态的工具，它可以看作是希尔伯特空间中的一个向量。波函数的平方模给出了粒子在不同位置出现的概率。

3，算符

物理量（如位置、动量、能量）在量子力学中被表示为作用在希尔伯特空间上的线性算符。这些算符可以改变态向量，从而描述系统的演化。

4，薛定谔方程

薛定谔方程是描述量子系统随时间演化的基本方程。它可以看作是希尔伯特空间中的一个微分方程，描述态向量如何随时间变化。

5. 量子计算

特别在量子计算中希尔伯特空间是其理论的核心和基础。量子比特（qubits）的状态和操作都可以用希尔伯特空间中的向量和算符来表示。量子算法利用这些向量和算符来进行计算。

但是，今天我们要谈的是，希尔伯特空间和量子逻辑的关系。特别在其共有的非分配性质。非分配性是量子逻辑最重要的特征。 它将量子逻辑和经典逻辑区分开来。

希尔伯特空间是一个带有内积的向量空间，该内积导致了一个距离函数，使得该空间成为完备度量空间。‘

希尔伯特空间的闭子空间。 希尔伯特空间的闭子空间是指在希尔伯特空间中，具有闭合性质的子向量空间。具体来说，如果一个子空间在希尔伯特空间的范数诱导的拓扑下是闭集，那么这个子空间就是闭子空间。

关于希尔伯特空间闭子空间的交集和并集

1. 交集：设H是希尔伯特空间，而A和B是H的两个闭子空间。如果A和B的交集也是闭的，那么它在希尔伯特空间H中也是闭的。这是因为希尔伯特空间是完备的，所以任何柯西序列都收敛到H中的某一点。因此，A和B的交集中的柯西序列也会收敛到H中的某一点，从而保持闭性。

3. 并集：然而，A和B的并集不一定是闭的。考虑一个简单的例子：在实数空间ℝ上，取A为正实数轴，B为负实数轴。这两个子空间都是闭的，但它们的并集是整个实数空间ℝ，而ℝ不是闭的。因此，希尔伯特空间的闭子空间的并集不一定满足经典逻辑中的分配律。

显然，希尔伯特空间的闭子空间的交集是闭的，但并集不一定是闭的。这与经典逻辑中的分配律不完全一致，[7]

总而言之，希尔伯特空间和量子逻辑之间有着深刻的联系，特别是在它们都不满足经典逻辑中的分配律,  下面我们总结一下。

总结：

希尔伯特空间中的非分配性

在希尔伯特空间中，量子态表示为向量，物理量表示为算符。希尔伯特空间的闭子空间（即量子态的集合）在进行并集操作时，不一定满足经典逻辑中的分配律。具体来说，对于三个闭子空间 (A)、(B)、(C)，并集操作不一定满足以下等式：

这种非分配性对应于量子态的叠加和测量的独特性质。

量子逻辑中的非分配性

量子逻辑是一种为了描述量子力学中的命题而发展起来的逻辑系统。在经典逻辑中，命题的逻辑运算（如“与”和“或”）满足分配律。然而，在量子逻辑中，这些运算不再满足分配律。其物理来源是，即使对物理系统 G 进行完整的数学描述，通常也无法使人们能够确定地预测结果 [1]， 而其在数学上的对应是，这是因为量子命题对应于希尔伯特空间中的闭子空间，而这些闭子空间的并集和交集操作不满足经典分配律。

关系与设计

有一种意见是，这两种非分配性的一致并非巧合，而是量子逻辑设计中的一个核心特征。量子逻辑的设计初衷是为了更准确地描述量子系统的行为，因此它在某些方面故意偏离了经典逻辑的规则。希尔伯特空间的数学结构自然地反映了量子逻辑的这些特性。尽管如此，但这还是一件非常有意义的事情，这表明了物理和数学具有的深刻的内在关系。而不是数学只是物理的工具。

通过这种方式，希尔伯特空间和量子逻辑在描述量子系统时表现出一致性，特别是在处理量子态和量子测量时。这种一致性帮助我们更好地理解量子力学的基本原理。

参考资料：

[1] The Logic of Quantum Mechanics。 Garrett Birkhoff; John Von Neumann
The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 37, No. 4. (Oct., 1936), pp. 823-843

[2] 量子论逻辑_百度百科 (baidu.com)

[3] 希尔伯特空间 wiki

[4] Pulmannová, S. Quantum logics and hilbert space. Found Phys 24, 1403–1414 (1994). https://doi.org/10.1007/BF02283040

[5] Gudder, S.P. An introduction to Hilbert space and quantum logic by David W. Cohen.. Found Phys Lett 2, 503–504 (1989). https://doi.org/10.1007/BF00689817