我的五年研究生生活（4）

01年暑假，
我无可救药的网恋了。

一个数学系的mm，还是老乡
刚毕业，
毕业前远远地只见过几次。

开学后，
忙着办签证，
本来计划在Singapore一个月的，
因为上海搞什么大型活动，
签证办的很不顺利，
拿到签证时只能在Singapore住18天了。

去Singapore之前，
偶跟杨跃已经定下了要做的题目:给出第四个可定义的理想。
几十年来递归论中所知道的只有两个可定义理想:cappable 和 noncuppable。
Shore问是否有无穷多个可定义的理想。
Nies证明了可定义集合生成的理想必然是可定义的，但这并不能解决Shore的猜想，
因为我们不知道这些集合生成的理想是否相同。
作为一个具体的例子，
Nies证明了nonbounding是新的可定义理想。
但是他遗留了一个问题，是否cappable跟noncuppable的交是非平凡的。
如果不是，那么就有第四个可定义理想。

Slaman,李昂生，杨跃的论文中有个构造noncuppable度的强有力的技巧。

我们打算用他们的技巧攻克这个问题。

开始杨跃列了一个大纲，
他想用他那个极为丑陋的jump技巧，
我觉得不行，
建议改成link，
果然使难度降了很多。
但中间有个小问题绊住了我们，
杨跃想到一个办法，
但我认为行不通。

所有这些都是在去Singapore之前做的。

启程，去Singapore，
因为我报错了航班，
害得杨跃在机场从下午等到晚上。

杨跃果然疯狂，
我们坐在出租车里就开始讨论那个问题，
一直到我的住处，
讨论到半夜，
终于有了一个结果，
那个问题克服了。

剩下的事情就是仔细地检验证明，
证明是庞大的。

在Singapore玩的地方不多，
只去了Orchard road和bird park，
Orchard road是偶这样的穷人不应该去的，
bird park倒是不错，看到了以前从没有看过的动物。

Chong请偶吃了一顿豪华的晚饭。

突然gf(敲下这个字时手有些颤抖)要跟我分手，
不知所措，
后面什么也干不了了。

突然伊又说等我回南京的时候她要去南京看我。
女人的心，天上的云。

我回到了南京，
论文写了一个草稿，
我们觉得结果太单薄了，
想投个好一些的杂志，
但是JSL正在严打local理论，
估计很难中，
于是我们announce了一下这个结果，
按住没发。

伊来南京过生日，
我把在Singapore挣的一点钱都花了进去。

但像所有网友见面的情况一样，
失望。

伊觉得偶没有网上那么坏，
我也觉得自己在伊面前有些萎缩。

不欢而散。

后面的日子好好坏坏。

这时候，
杨跃提出了一个更大胆的问题，
是否noncuppable 和 nonbounding生成的理想严格地小于cappable的理想。

题目看上去很难，
因为有些Global的味道，
优先方法处理这类问题是非常困难的。

杨跃好像也没有把握，
只是问了一下。

但我却开始着手证明。

那是一个月朗星稀的晚上，
我在北大楼门前徘徊，
考虑着这个问题。

现在偶都惊讶于我的直观如此强，
感觉这个东西一定跟构造同时具有cuppable 和 cappable 性质的度有关。

找了Shore当年的论文来看，
发现那个技巧果然可以用。

大喜，
告诉杨跃，
杨跃对这个技巧不熟，
但也很高兴知道可以解决。

他回到了北京的家，
在北京他仔细推敲了我的建议，
认为是正确的。

很高兴，
毫不犹豫地投了JSL，
Downey收下了稿子，
转给了审稿人。

这个学期有个同学结婚了，
娶了一个安徽的女孩儿。
大家跑到合肥去喝喜酒。

当我在Singapore的时候，
Nies来到南京访问。

他带来了一个崭新的方向，
算法信息论。

我在Singapore从师弟那里知道Nies讲的内容，
问杨跃这个方向如何？
他告诉我有很多人在做。

回到南京时Nies早已经走了，
老板把他留下的手稿给我。

我被Slaman和Kucera的结果深深吸引，
随机性竟然这么奇妙，
而且还有Komogorov,Solovay这样的一代宗师从事过随机性的研究，
引发了我的好奇。

当时最先考虑的一个问题是Downey的sw的完备性问题，
开始Downey宣称他证明了sw有和Solovay度一样的性质，
即Kucera-Slaman定理，
我觉得很奇怪，
就发email问他。
然后他说证明是错的，
并且甚至不知道是否存在最大的sw度。

开始考虑这个问题。

在去老板家的车站上等车时，
想到了一个方法，
结果应该相反的，
没有最大的sw度，
而且甚至应该有更奇怪的性质。

我发email把想法告诉了杨跃，
杨跃对这个方向丝毫不懂，
并且告诉我这个方向的容易做的东西基本上做完了。

于是我决定一个人做。

但是突然重感冒，
回家，
过寒假。

开学，
回到学校，
继续做。

这时候我已经陷入了困境，
发现我的最初的想法很困难。

于是又想从正面证明，
一无所获，
几乎要放弃。

我感觉可能要用到一些组合优化的结果，
于是找了一些组合学的书来看。

半个月以后，
我重新回到了这个题目上来。

我先用计算机验证我的想法，
发现了一些很奇怪的现象，
比我预计的要好的多。

于是坚定地认为我最初的想法是正确的。

半个月以后，
我把证明写出来了。

告诉老板。

老板开始也很难相信。

为了讲我的结果，
老板和师兄每周2次讨论班，
花了一个月时间，
终于相信我的证明是正确的。

很高兴，
毫不犹豫地投了JSL。

这是我当时最得意的一个结果，
以前的东西基本上都在整合别人的技巧，
这一次却是原创的。

Downey后来评价说我的证明是original的，
但却unreadable的，
很难看懂，
审稿人一年后才告诉Downey说他相信证明是正确的。

这个学期，
一个师兄，一个师弟毕业。

师兄x是个有趣的人，
做过副县长，
有村干部的风度。

但是很用功，
佩服得很。

他的同龄人中很少见到这么用功的。

师弟去了美利坚。

已经在bbs成为老油条，
几乎到了人见人恨的地步。

最后终于决定跟伊分手。

8月底在重庆开亚洲逻辑会议，
着手准备。

我的五年研究生生活（5）

02年的夏天改了最后一次高考试卷，
竟然还做了副组长。

这个暑假看了李昂生给我带来的两本书
Moschovakis 的 De????ive set theory
Kechris 的 Classical De????ive Set Theory
都是de????ive set theory的经典教科书。

8月底，
参加重庆的亚洲逻辑会议，
这是ICM的一个卫星会议，
档次比较高。

可惜的是Jensen和Slaman取消了旅行计划，
没有来。
Woodin在北京匆匆做了一个报告后回了Berkeley.

但还好有Gonchanov, Downey撑场面。

在重庆见到了C.T.Chong,冯琦，杨跃，李昂生，
还有从未谋过面的师兄s,
相言甚欢。

杨跃一见到我立即告诉我Downey去了一次NUS，把他生生拽入了算法信息论领域。
我们围着西师的校园边走边聊，他还是那么疯狂。

要感谢杨跃和李昂生，
他们在报告对我的结果的引用引起了Downey对我的兴趣。
在重庆之前，
我和老板有打算让他为我写做博士后的推荐信，
因此很高兴他注意到我的工作。

我自己也做了一个十五分钟的报告，
非常失败。
做完后Downey问了一个问题，
我的糟糕的听力导致我根本没听懂他说的，
杨跃赶紧出来救场，
向他做了解释.

然后是玩，
Downey像个小孩儿，
最后一天，大家看重庆的夜景，
Downey突然拉肚子，
可能是重庆的火锅起反应了，
开始强忍着，
最终还是跑回旅馆了。

第二天见到他，
他赶紧问我去哪里玩了，
晚上几点回来的，
好不好玩。

我故意逗他，
说很好玩，
很晚回来。

他不停地摇着他根本没有几根头发的头颅，做叹息状。

离开重庆前，
冯琦问我愿不愿意跟他做inner model,
我高兴地说当然愿意，
但是这个学期不行，
我要申请博后，
他很失望。

Downey在重庆给我出了一个题目:有多少个随机的H-度？
他只要求我构造出两个。

这个问题最早可以追溯到Solovay的75年手稿，
他构造了2个，
但是方法非常tricky，
不可能改进。

后来Kucera-Slaman说c.e. 实数中只有一个随机的H-度。

不难证明Chaitin的随机数下面有连续统多个H-度，
因此有多少个随机的H-度很不明朗。

当时，
算法信息论中H-度的结果都是围绕着c.e.实数展开的，
因为我们不知道一般的实数中有多少个H-度，
使得这一领域的研究陷于停滞。

当时已经没有了论文的压力，
数学学报和中国科学的论文都已经收到接受函。
写论文已经变成一种娱乐，
而且对游戏也不再感兴趣（老龄化的结果）。

现在回想，
也许只有在这种心态下才能作出这个结果来。

偶坚定地认为有不可数多个这样的H-度。

开始想用优先方法构造，
可以证明任何随机数H-复杂性都会在某一段掉下来，
也可以证明任何随机数的h-复杂性都会在某一段升上去。

一个自然的想法是对于任何一个随机实数，
砍掉掉下来的部分，用升上去的部分补充以得到一个更复杂的实数。

然而失败了，
有限方法对此无效。

放弃了一段时间，
看了一些算法信息论方面的论文。

国庆以后，
再次回到这个题目上来。

突然想到，
随机性是不可把握的，
而递归论中的优先方法具有很强的构造性，
根本不可能用这个方法得到想要的结果。

于是采用测度论和集合论的办法，
每个实数可以看成一个自然数集合，
对它们赋予一种度量，
就有了测度。

现在问题的焦点在于在H(n)和Log(n)之间找到一条缝隙。

如果有了第一个这样的实数，
那么用测度论的办法可以攻克这个问题。

如何找到一个这样的实数？
测度论的办法太粗了，
根本无法找到。

最终又回到优先方法上来，
用优先方法，
发现Chaitin的随机数就有这样的性质，
搞定！

然后偶直接送给了Downey，
刚开始他没有看懂，
说有几个引理好像不对，
dazed。

我再检验，
发现表述有问题，
修改后再给他看。

很快，
Downey回信对这个结果大加赞赏，
在我的博士论文评语中，
他称这个证明是genuine的。

我告诉他我准备投SIAM J on Comput.

他怕我因文害意，
帮我重新写了一遍，
充实了一些内容，
把自己放在第三作者。

这是我研究生阶段最好的结果，
不知道以后还能不能作出这样的东西来。

但是有多少个H-度仍然没有解决，
我只证明了存在不可数多了，
但是否有连续统多个，
仍然不清楚，
Downey猜测极可能是连续统多个，
但是我却希望有个独立性的结果出来。

此后的生活有些堕落，
疯狂地见网友，
听了无数报告，
自己也做了不少报告。

但这个学期也有很多事情要做。

最终要的是神情博士后，
当时考虑的有:Berkeley,Wisconsin, UIUC。

需要推荐信，
Slaman说对我的工作不是很了解，但是答应写一个recommendation给Berkeley的委员会，

Wisconsin的Lempp和UIUC的Jockusch对我的工作兴趣较大，答应帮我申请。

但是他们告诉我竞争非常激烈，美国现在就业形式不好，做博后的越来越多，
Wisconsin已经连续2年招了递归论的博士后，UIUC的模型论势力非常大，递归论在那里只
是一个小方向。

形式有些严峻。

需要几分强有力的推荐信。

于是自然找到了Downey，
要求他给我写推荐信。

Downey回信说: you are in lucky now.
NZ正好有一个面向全球的博士后位置，薪金非常高，问我有没有兴趣。
只字不提推荐信的事情。

觉得不好办，
问老板，
老板建议我答应下来。

此前Lempp和Jockusch也建议我考虑一下Downey那里，
并且考虑到美国签证形势的严峻，
我最终答应了去NZ那里。

然后Downey要求我尽快拿到学位。

于是着手准备毕业论文。

论文的评审分为2部分，
一部分给研究生院看的，老板随便发给国内几个人，其实根本没人能看懂。
一部分自己留着有用，老板想让Nies, Lempp, Jockusch, Downey写评语。
Nies没有回信（正常的很），
Jockusch写了简短的几句好话，然后说自己很忙，没有充足的时间看。
Lempp写得有些过誉了，我自己看得都不好意思。
Downey写得比较中肯，说我的毕业论文中的语言糟糕成度是appalling的，
应该找一个英语为母语的家伙帮我重写（如果找他，不知道会不会答应）。
并且早期的在数学学报中的一个结果被他近期的一个结果涵盖了。

然后开始忙着毕业，
正好碰上Chong来南大谈NUS跟南大学术交流的事情，
邀请他做答辩主席。

很遗憾的是答辩时没有带相机。

答辩结束后，
Chong私底下跟我说了三个字“很不错”。
感动至死。

老板请Chong和系里的头头在古南都吃了一顿豪华的晚宴，
那是我吃的最高档的一次。

到这个学期为止，
我的研究生阶段就算结束了。

然后开始准备签证。

突然系主任问我是否留校，
开始答应下来，
后来发现如果留校，签证，薪金都有问题，
于是连哄带骗，
让系主任签字给欧放行，
逃离南大。

这个学期的生活是非常堕落的，
还曾经试图追过一个mm，
失败得很。

回家过年，
因为以后很难有机会在家里过年了，
这次在家的时间特别长。

返校后，
开始忙签证，
手续很多，
但总算比较顺利。

这个学期的生活是悠闲的，
有机会把递归论各个方向都看了一边，
还看了Kanamori的The Higher Infinite。

期间还给师弟们上过讨论班，
现在的学生很让我ft。

老板还让我带一个师妹做论文，
累得偶吐血。

Chong和冯琦都安排了计划来南京，
该死的SARS使得所有的计划都cancel掉了。

一个偶然的机会，
发现自己上个学期的那篇论文中的一个推论可以彻底解决随机数中H-度的问题，
只花了一天时间就写好了。

再一次Downey帮我修改了稿子。

投至Proceedings of AMS，
一个月以后收到了录用函。

疯狂地见网友，
听报告，
偶敲榨报告的水平在这个学期大有长进。

学期快要结束时，
有个快要读研的小兄弟问我研究生生活是怎样的。

这才想起要写点什么。

5年的生活比看上去要短得多，
日子不经意地在自己的手中溜过。

来南京的第一天的情景仿佛就发生在昨天，
车窗外道路两旁的郁郁葱葱的树木，
高低不齐地透出一丝没落贵族般的建筑,
还有公车内的ppmm.....

我的五年研究生生活（跋）

事情闹大了，
看来这个跋很有必要。

五年研究生期间，
得到了不少人的指点，
从国内到国外，
l师兄，老板，冯琦，杨跃，李昂生，R. Downey, T. Slaman, S. Lempp.....

我一直以为老板对于一个研究生来说是至关重要的。

譬如有的老板对研究生管得很严，要求学生必须在他的领域内做东西；
有的老板却不闻不问，让研究生自生自灭。

偶很幸运，
老板给了我一个宽松而优越的研究环境。

他给我做的具体指导不多，但是给我定了一个大体的方向。
但即使在这个大方向上，我还是走了出去。

我不是很听老板的话，
喜欢自己找些书来看。

老板原谅了我对于集合论的痴迷，
让我去中科院跟冯琦学了8个月，
这在于某些老板来说可能是大逆不道的。

然后老板又抓住机会让我去了Singapore，
使得我的整个研究出现了转机。

老板促成的Nies的访华是我的整个学术的转折点，
然后是重庆会议上的推荐，申请博士后时的大力推举。

在国内整体研究水平不高的情况下，
老板能提供的学术条件和环境是非常重要的，

可惜这样优越的条件不是每个老板能提供的，
我是非常幸运的一个。

冯琦的水平恐怕国内没有几个人比得上的，
只要看他最近在J of AMS的文章就能说明问题。

他是个外冷内热的人，
具有强烈的理想主义色彩，有些不顾实际。

譬如他劝我放弃对于学位的追求，
“死”掉几年，潜心修炼。
他说曾经有人对他说学集合论要花至少十年的时间打基础，有些恐怖。

如果我遵从他的建议，也许能有更好的成绩。

但我是个功利主义者，我想要的是学位。
这恐怕也是国内研究人员的通病，也是国内研究水平低下的原因。

在重庆，他再一次建议我做inner model时，
我非常高兴。

我一直以为这个领域只有超高智商的人才敢踏入，
活跃在这个领域内的人物都是大名鼎鼎的集合论学家：Jensen, Neeman, Woodin....

可惜我的再一次功利导致我放弃了这个机会。

离开重庆的前一天，
看着冯琦欲言又止的样子，
一种说不出的味道。

也许中国不适合他这样具有强烈理想主义色彩的人，
他现在的环境有些尴尬。

杨跃是个热情而聪明的人，
当年北大的高材生，
师从大家Shore，
对人热情有加，
初期受了他不少帮助。

李昂生是个类似于陈景润的人物，
恐怕没有人认为他很聪明，
然而他的工作绝对是一流的，
可惜他来南京访问的时间太短，
没有机会得到他的太多帮助。

Downey对我的研究生涯起了关键的作用，
很多的工作都跟他联系在一起。
他是个精力充沛的家伙，反应极快，五十岁以后还能开辟新的研究方向。

Slaman是当今递归论的毫无争议的第一高手，他的触角遍及递归论的所有领域，
所到之处，尽是original的结果。

Lempp的热心是有口皆碑的，事无巨细，他都会很仔细的去办。

研究生阶段，正是受到他们的热情帮助，才有了Chong的那三个字——“很不错”。

今天早上，
老板突然找我谈话，告诉我系里对我有意见，
因为我的帖子涉及到太多的人。

如果我对某些人有些不恭敬的语气，
我很抱歉。

我并不是想出什么风头。

我觉得我的五年研究生生活有很多收获，也有很多遗憾。

我的一些师弟读到博士了还不知道怎么写论文，
我看到很多人整天闭门造车，连email也不会发，
论文的题目等着老板给，不知道怎么对外交流，
不知道新的研究方向。。。。
我想我的这些经验会有用。

还有，
我本来想更多地写一些学术以外的事情，
但不自觉地还是把学术的写得很多，

然而今天早上的谈话，
看来我又走运了。