我的五年研究生生活（4）

01年暑假，
我無可救藥的網戀了。

一個數學系的mm，還是老鄉
剛畢業，
畢業前遠遠地只見過幾次。

開學後，
忙着辦簽證，
本來計劃在Singapore一個月的，
因為上海搞什麼大型活動，
簽證辦的很不順利，
拿到簽證時只能在Singapore住18天了。

去Singapore之前，
偶跟楊躍已經定下了要做的題目:給出第四個可定義的理想。
幾十年來遞歸論中所知道的只有兩個可定義理想:cappable 和 noncuppable。
Shore問是否有無窮多個可定義的理想。
Nies證明了可定義集合生成的理想必然是可定義的，但這並不能解決Shore的猜想，
因為我們不知道這些集合生成的理想是否相同。
作為一個具體的例子，
Nies證明了nonbounding是新的可定義理想。
但是他遺留了一個問題，是否cappable跟noncuppable的交是非平凡的。
如果不是，那麼就有第四個可定義理想。

Slaman,李昂生，楊躍的論文中有個構造noncuppable度的強有力的技巧。

我們打算用他們的技巧攻克這個問題。

開始楊躍列了一個大綱，
他想用他那個極為醜陋的jump技巧，
我覺得不行，
建議改成link，
果然使難度降了很多。
但中間有個小問題絆住了我們，
楊躍想到一個辦法，
但我認為行不通。

所有這些都是在去Singapore之前做的。

啟程，去Singapore，
因為我報錯了航班，
害得楊躍在機場從下午等到晚上。

楊躍果然瘋狂，
我們坐在出租車裡就開始討論那個問題，
一直到我的住處，
討論到半夜，
終於有了一個結果，
那個問題克服了。

剩下的事情就是仔細地檢驗證明，
證明是龐大的。

在Singapore玩的地方不多，
只去了Orchard road和bird park，
Orchard road是偶這樣的窮人不應該去的，
bird park倒是不錯，看到了以前從沒有看過的動物。

Chong請偶吃了一頓豪華的晚飯。

突然gf(敲下這個字時手有些顫抖)要跟我分手，
不知所措，
後面什麼也幹不了了。

突然伊又說等我回南京的時候她要去南京看我。
女人的心，天上的雲。

我回到了南京，
論文寫了一個草稿，
我們覺得結果太單薄了，
想投個好一些的雜誌，
但是JSL正在嚴打local理論，
估計很難中，
於是我們announce了一下這個結果，
按住沒發。

伊來南京過生日，
我把在Singapore掙的一點錢都花了進去。

但像所有網友見面的情況一樣，
失望。

伊覺得偶沒有網上那麼壞，
我也覺得自己在伊面前有些萎縮。

不歡而散。

後面的日子好好壞壞。

這時候，
楊躍提出了一個更大膽的問題，
是否noncuppable 和 nonbounding生成的理想嚴格地小於cappable的理想。

題目看上去很難，
因為有些Global的味道，
優先方法處理這類問題是非常困難的。

楊躍好像也沒有把握，
只是問了一下。

但我卻開始着手證明。

那是一個月朗星稀的晚上，
我在北大樓門前徘徊，
考慮着這個問題。

現在偶都驚訝於我的直觀如此強，
感覺這個東西一定跟構造同時具有cuppable 和 cappable 性質的度有關。

找了Shore當年的論文來看，
發現那個技巧果然可以用。

大喜，
告訴楊躍，
楊躍對這個技巧不熟，
但也很高興知道可以解決。

他回到了北京的家，
在北京他仔細推敲了我的建議，
認為是正確的。

很高興，
毫不猶豫地投了JSL，
Downey收下了稿子，
轉給了審稿人。

這個學期有個同學結婚了，
娶了一個安徽的女孩兒。
大家跑到合肥去喝喜酒。

當我在Singapore的時候，
Nies來到南京訪問。

他帶來了一個嶄新的方向，
算法信息論。

我在Singapore從師弟那裡知道Nies講的內容，
問楊躍這個方向如何？
他告訴我有很多人在做。

回到南京時Nies早已經走了，
老闆把他留下的手稿給我。

我被Slaman和Kucera的結果深深吸引，
隨機性竟然這麼奇妙，
而且還有Komogorov,Solovay這樣的一代宗師從事過隨機性的研究，
引發了我的好奇。

當時最先考慮的一個問題是Downey的sw的完備性問題，
開始Downey宣稱他證明了sw有和Solovay度一樣的性質，
即Kucera-Slaman定理，
我覺得很奇怪，
就發email問他。
然後他說證明是錯的，
並且甚至不知道是否存在最大的sw度。

開始考慮這個問題。

在去老闆家的車站上等車時，
想到了一個方法，
結果應該相反的，
沒有最大的sw度，
而且甚至應該有更奇怪的性質。

我發email把想法告訴了楊躍，
楊躍對這個方向絲毫不懂，
並且告訴我這個方向的容易做的東西基本上做完了。

於是我決定一個人做。

但是突然重感冒，
回家，
過寒假。

開學，
回到學校，
繼續做。

這時候我已經陷入了困境，
發現我的最初的想法很困難。

於是又想從正面證明，
一無所獲，
幾乎要放棄。

我感覺可能要用到一些組合優化的結果，
於是找了一些組合學的書來看。

半個月以後，
我重新回到了這個題目上來。

我先用計算機驗證我的想法，
發現了一些很奇怪的現象，
比我預計的要好的多。

於是堅定地認為我最初的想法是正確的。

半個月以後，
我把證明寫出來了。

告訴老闆。

老闆開始也很難相信。

為了講我的結果，
老闆和師兄每周2次討論班，
花了一個月時間，
終於相信我的證明是正確的。

很高興，
毫不猶豫地投了JSL。

這是我當時最得意的一個結果，
以前的東西基本上都在整合別人的技巧，
這一次卻是原創的。

Downey後來評價說我的證明是original的，
但卻unreadable的，
很難看懂，
審稿人一年後才告訴Downey說他相信證明是正確的。

這個學期，
一個師兄，一個師弟畢業。

師兄x是個有趣的人，
做過副縣長，
有村幹部的風度。

但是很用功，
佩服得很。

他的同齡人中很少見到這麼用功的。

師弟去了美利堅。

已經在bbs成為老油條，
幾乎到了人見人恨的地步。

最後終於決定跟伊分手。

8月底在重慶開亞洲邏輯會議，
着手準備。

我的五年研究生生活（5）

02年的夏天改了最後一次高考試卷，
竟然還做了副組長。

這個暑假看了李昂生給我帶來的兩本書
Moschovakis 的 De????ive set theory
Kechris 的 Classical De????ive Set Theory
都是de????ive set theory的經典教科書。

8月底，
參加重慶的亞洲邏輯會議，
這是ICM的一個衛星會議，
檔次比較高。

可惜的是Jensen和Slaman取消了旅行計劃，
沒有來。
Woodin在北京匆匆做了一個報告後回了Berkeley.

但還好有Gonchanov, Downey撐場面。

在重慶見到了C.T.Chong,馮琦，楊躍，李昂生，
還有從未謀過面的師兄s,
相言甚歡。

楊躍一見到我立即告訴我Downey去了一次NUS，把他生生拽入了算法信息論領域。
我們圍着西師的校園邊走邊聊，他還是那麼瘋狂。

要感謝楊躍和李昂生，
他們在報告對我的結果的引用引起了Downey對我的興趣。
在重慶之前，
我和老闆有打算讓他為我寫做博士後的推薦信，
因此很高興他注意到我的工作。

我自己也做了一個十五分鐘的報告，
非常失敗。
做完後Downey問了一個問題，
我的糟糕的聽力導致我根本沒聽懂他說的，
楊躍趕緊出來救場，
向他做了解釋.

然後是玩，
Downey像個小孩兒，
最後一天，大家看重慶的夜景，
Downey突然拉肚子，
可能是重慶的火鍋起反應了，
開始強忍着，
最終還是跑回旅館了。

第二天見到他，
他趕緊問我去哪裡玩了，
晚上幾點回來的，
好不好玩。

我故意逗他，
說很好玩，
很晚回來。

他不停地搖着他根本沒有幾根頭髮的頭顱，做嘆息狀。

離開重慶前，
馮琦問我願不願意跟他做inner model,
我高興地說當然願意，
但是這個學期不行，
我要申請博後，
他很失望。

Downey在重慶給我出了一個題目:有多少個隨機的H-度？
他只要求我構造出兩個。

這個問題最早可以追溯到Solovay的75年手稿，
他構造了2個，
但是方法非常tricky，
不可能改進。

後來Kucera-Slaman說c.e. 實數中只有一個隨機的H-度。

不難證明Chaitin的隨機數下面有連續統多個H-度，
因此有多少個隨機的H-度很不明朗。

當時，
算法信息論中H-度的結果都是圍繞着c.e.實數展開的，
因為我們不知道一般的實數中有多少個H-度，
使得這一領域的研究陷於停滯。

當時已經沒有了論文的壓力，
數學學報和中國科學的論文都已經收到接受函。
寫論文已經變成一種娛樂，
而且對遊戲也不再感興趣（老齡化的結果）。

現在回想，
也許只有在這種心態下才能作出這個結果來。

偶堅定地認為有不可數多個這樣的H-度。

開始想用優先方法構造，
可以證明任何隨機數H-複雜性都會在某一段掉下來，
也可以證明任何隨機數的h-複雜性都會在某一段升上去。

一個自然的想法是對於任何一個隨機實數，
砍掉掉下來的部分，用升上去的部分補充以得到一個更複雜的實數。

然而失敗了，
有限方法對此無效。

放棄了一段時間，
看了一些算法信息論方面的論文。

國慶以後，
再次回到這個題目上來。

突然想到，
隨機性是不可把握的，
而遞歸論中的優先方法具有很強的構造性，
根本不可能用這個方法得到想要的結果。

於是採用測度論和集合論的辦法，
每個實數可以看成一個自然數集合，
對它們賦予一種度量，
就有了測度。

現在問題的焦點在於在H(n)和Log(n)之間找到一條縫隙。

如果有了第一個這樣的實數，
那麼用測度論的辦法可以攻克這個問題。

如何找到一個這樣的實數？
測度論的辦法太粗了，
根本無法找到。

最終又回到優先方法上來，
用優先方法，
發現Chaitin的隨機數就有這樣的性質，
搞定！

然後偶直接送給了Downey，
剛開始他沒有看懂，
說有幾個引理好像不對，
dazed。

我再檢驗，
發現表述有問題，
修改後再給他看。

很快，
Downey回信對這個結果大加讚賞，
在我的博士論文評語中，
他稱這個證明是genuine的。

我告訴他我準備投SIAM J on Comput.

他怕我因文害意，
幫我重新寫了一遍，
充實了一些內容，
把自己放在第三作者。

這是我研究生階段最好的結果，
不知道以後還能不能作出這樣的東西來。

但是有多少個H-度仍然沒有解決，
我只證明了存在不可數多了，
但是否有連續統多個，
仍然不清楚，
Downey猜測極可能是連續統多個，
但是我卻希望有個獨立性的結果出來。

此後的生活有些墮落，
瘋狂地見網友，
聽了無數報告，
自己也做了不少報告。

但這個學期也有很多事情要做。

最終要的是神情博士後，
當時考慮的有:Berkeley,Wisconsin, UIUC。

需要推薦信，
Slaman說對我的工作不是很了解，但是答應寫一個recommendation給Berkeley的委員會，

Wisconsin的Lempp和UIUC的Jockusch對我的工作興趣較大，答應幫我申請。

但是他們告訴我競爭非常激烈，美國現在就業形式不好，做博後的越來越多，
Wisconsin已經連續2年招了遞歸論的博士後，UIUC的模型論勢力非常大，遞歸論在那裡只
是一個小方向。

形式有些嚴峻。

需要幾分強有力的推薦信。

於是自然找到了Downey，
要求他給我寫推薦信。

Downey回信說: you are in lucky now.
NZ正好有一個面向全球的博士後位置，薪金非常高，問我有沒有興趣。
隻字不提推薦信的事情。

覺得不好辦，
問老闆，
老闆建議我答應下來。

此前Lempp和Jockusch也建議我考慮一下Downey那裡，
並且考慮到美國簽證形勢的嚴峻，
我最終答應了去NZ那裡。

然後Downey要求我儘快拿到學位。

於是着手準備畢業論文。

論文的評審分為2部分，
一部分給研究生院看的，老闆隨便發給國內幾個人，其實根本沒人能看懂。
一部分自己留着有用，老闆想讓Nies, Lempp, Jockusch, Downey寫評語。
Nies沒有回信（正常的很），
Jockusch寫了簡短的幾句好話，然後說自己很忙，沒有充足的時間看。
Lempp寫得有些過譽了，我自己看得都不好意思。
Downey寫得比較中肯，說我的畢業論文中的語言糟糕成度是appalling的，
應該找一個英語為母語的傢伙幫我重寫（如果找他，不知道會不會答應）。
並且早期的在數學學報中的一個結果被他近期的一個結果涵蓋了。

然後開始忙着畢業，
正好碰上Chong來南大談NUS跟南大學術交流的事情，
邀請他做答辯主席。

很遺憾的是答辯時沒有帶相機。

答辯結束後，
Chong私底下跟我說了三個字“很不錯”。
感動至死。

老闆請Chong和系裡的頭頭在古南都吃了一頓豪華的晚宴，
那是我吃的最高檔的一次。

到這個學期為止，
我的研究生階段就算結束了。

然後開始準備簽證。

突然系主任問我是否留校，
開始答應下來，
後來發現如果留校，簽證，薪金都有問題，
於是連哄帶騙，
讓系主任簽字給歐放行，
逃離南大。

這個學期的生活是非常墮落的，
還曾經試圖追過一個mm，
失敗得很。

回家過年，
因為以後很難有機會在家裡過年了，
這次在家的時間特別長。

返校後，
開始忙簽證，
手續很多，
但總算比較順利。

這個學期的生活是悠閒的，
有機會把遞歸論各個方向都看了一邊，
還看了Kanamori的The Higher Infinite。

期間還給師弟們上過討論班，
現在的學生很讓我ft。

老闆還讓我帶一個師妹做論文，
累得偶吐血。

Chong和馮琦都安排了計劃來南京，
該死的SARS使得所有的計劃都cancel掉了。

一個偶然的機會，
發現自己上個學期的那篇論文中的一個推論可以徹底解決隨機數中H-度的問題，
只花了一天時間就寫好了。

再一次Downey幫我修改了稿子。

投至Proceedings of AMS，
一個月以後收到了錄用函。

瘋狂地見網友，
聽報告，
偶敲榨報告的水平在這個學期大有長進。

學期快要結束時，
有個快要讀研的小兄弟問我研究生生活是怎樣的。

這才想起要寫點什麼。

5年的生活比看上去要短得多，
日子不經意地在自己的手中溜過。

來南京的第一天的情景仿佛就發生在昨天，
車窗外道路兩旁的鬱鬱蔥蔥的樹木，
高低不齊地透出一絲沒落貴族般的建築,
還有公車內的ppmm.....

我的五年研究生生活（跋）

事情鬧大了，
看來這個跋很有必要。

五年研究生期間，
得到了不少人的指點，
從國內到國外，
l師兄，老闆，馮琦，楊躍，李昂生，R. Downey, T. Slaman, S. Lempp.....

我一直以為老闆對於一個研究生來說是至關重要的。

譬如有的老闆對研究生管得很嚴，要求學生必須在他的領域內做東西；
有的老闆卻不聞不問，讓研究生自生自滅。

偶很幸運，
老闆給了我一個寬鬆而優越的研究環境。

他給我做的具體指導不多，但是給我定了一個大體的方向。
但即使在這個大方向上，我還是走了出去。

我不是很聽老闆的話，
喜歡自己找些書來看。

老闆原諒了我對於集合論的痴迷，
讓我去中科院跟馮琦學了8個月，
這在於某些老闆來說可能是大逆不道的。

然後老闆又抓住機會讓我去了Singapore，
使得我的整個研究出現了轉機。

老闆促成的Nies的訪華是我的整個學術的轉折點，
然後是重慶會議上的推薦，申請博士後時的大力推舉。

在國內整體研究水平不高的情況下，
老闆能提供的學術條件和環境是非常重要的，

可惜這樣優越的條件不是每個老闆能提供的，
我是非常幸運的一個。

馮琦的水平恐怕國內沒有幾個人比得上的，
只要看他最近在J of AMS的文章就能說明問題。

他是個外冷內熱的人，
具有強烈的理想主義色彩，有些不顧實際。

譬如他勸我放棄對於學位的追求，
“死”掉幾年，潛心修煉。
他說曾經有人對他說學集合論要花至少十年的時間打基礎，有些恐怖。

如果我遵從他的建議，也許能有更好的成績。

但我是個功利主義者，我想要的是學位。
這恐怕也是國內研究人員的通病，也是國內研究水平低下的原因。

在重慶，他再一次建議我做inner model時，
我非常高興。

我一直以為這個領域只有超高智商的人才敢踏入，
活躍在這個領域內的人物都是大名鼎鼎的集合論學家：Jensen, Neeman, Woodin....

可惜我的再一次功利導致我放棄了這個機會。

離開重慶的前一天，
看着馮琦欲言又止的樣子，
一種說不出的味道。

也許中國不適合他這樣具有強烈理想主義色彩的人，
他現在的環境有些尷尬。

楊躍是個熱情而聰明的人，
當年北大的高材生，
師從大家Shore，
對人熱情有加，
初期受了他不少幫助。

李昂生是個類似於陳景潤的人物，
恐怕沒有人認為他很聰明，
然而他的工作絕對是一流的，
可惜他來南京訪問的時間太短，
沒有機會得到他的太多幫助。

Downey對我的研究生涯起了關鍵的作用，
很多的工作都跟他聯繫在一起。
他是個精力充沛的傢伙，反應極快，五十歲以後還能開闢新的研究方向。

Slaman是當今遞歸論的毫無爭議的第一高手，他的觸角遍及遞歸論的所有領域，
所到之處，儘是original的結果。

Lempp的熱心是有口皆碑的，事無巨細，他都會很仔細的去辦。

研究生階段，正是受到他們的熱情幫助，才有了Chong的那三個字——“很不錯”。

今天早上，
老闆突然找我談話，告訴我系裡對我有意見，
因為我的帖子涉及到太多的人。

如果我對某些人有些不恭敬的語氣，
我很抱歉。

我並不是想出什麼風頭。

我覺得我的五年研究生生活有很多收穫，也有很多遺憾。

我的一些師弟讀到博士了還不知道怎麼寫論文，
我看到很多人整天閉門造車，連email也不會發，
論文的題目等着老闆給，不知道怎麼對外交流，
不知道新的研究方向。。。。
我想我的這些經驗會有用。

還有，
我本來想更多地寫一些學術以外的事情，
但不自覺地還是把學術的寫得很多，

然而今天早上的談話，
看來我又走運了。