N　＝　２　（或　３）時，不證自明。假設結論對N　＝　K　時成立。　　現證 N= K+1時命題成立。

任意挑選一點成為點A，看剩下K個點。 分兩個情形：

（1）如果這剩下的K個點在一條直線上，那麼按題設，點A不和它們在一條線上。 那麼點A和剩下的任一個點連成的直線都不和其它線重合（也即不和其它點在一條直線上）。

（2）如果剩下的K個點也不在一條直線上，那麼按歸納假設，其中必有兩點，稱為 點P 和 點Q 和其它不含點A 的（K-2)個點不在一條直線上。這時再細分兩個情形

（2.1）如果點A也不和PQ在一條直線上，那麼PQ就是所要的僅含兩個端點的直線。

（2.2）如果PQA構成直線，那麼點A和PQ之外任何一個點連成的直線都不可能和其它點在一條直線上，否則會和原來PQ線段（不和其它點在一條直線上）矛盾。

命題至此歸納證畢