定理：在勾股定理上，周髀算經擊敗了歐幾里德 －－ 從嚴格的西方學術標準而言
武士過招，用劍；
學者比高低，用理論模型。
如何用理論模型比高低？粗看，一個模型無非一堆句子：定義、假設（誤譯成‘公理’）、定理、推論。但透過這堆句子細看，能辨出美或丑，膚淺或深刻，笨重或優雅。當然，這視乎觀者的眼光和修養（就象欣賞美女時的‘曾見滄海難為水’），但有些比較是很明顯的：給定同一個現象，如果學者Ａ用了比學者Ｂ更少和更質樸的定義和假設（Ｂ的假設意味着Ａ的假設，而Ａ的假設不一定意味着Ｂ的假設），那麼Ａ就打敗了Ｂ。
一個好例子，就是《周髀算經》和歐幾里德對勾股定理所各自提出的證明。
先看歐幾里德的證明：
歐幾里德的證明，若要全寫出來，很長。在此只鈎勒如下：
Ａ、圖中的粉色正方形的面積＝三角形FCB的面積的兩倍；
Ｂ、三角形FCB的面積＝三角形ADB的面積，因為二者全等；
Ｃ、三角形ADB的面積的兩倍＝圖中的粉色長方形的面積。
所以，圖中的粉色正方形的面積＝圖中的粉色長方形的面積。
同理，圖中的藍色正方形的面積＝圖中的藍色長方形的面積。
Ｄ、粉色長方形＋藍色長方形＝以弦為邊的正方形。這與上兩行結合，於是－－－
證畢。
以上的步驟，若要真的成為證明，歐幾里德需要嚴格地假設或定義出：
一、一個正方形的面積的算法（否則他的步驟Ａ通不過）；
二、一個任意三角形的面積的算法（否則他的步驟Ａ通不過）；
三、兩個任意三角形全等的條件（否則他的步驟Ｂ通不過）；
四、一個長方形的面積的算法（否則他的步驟Ｃ通不過）；
五、假設：一個平面圖形的面積＝對它作有限分割之後、各部份面積的總和（否則他的步驟Ｄ通不過）。
這裡，最麻煩的是要定義一個任意三角形的面積的算法。儘管‘底乘以高除以2’這種算法看上去很直觀，人類要等到最近兩百年，才真正在嚴格意義上懂得甚麼叫一般幾何圖形的‘面積’。
現在轉頭看《周髀算經》的一掌亢龍有悔：
為了清楚，把它的前後各步驟全寫出來：
先玩幾下拼圖：
Ａ、取任一直角三角形，放在上圖左上角從左到右數第二個‘朱冪’的位置，叫它甲；
Ｂ、取同一直角三角形的副件，以其短邊貼着甲的長邊，頂點重合地放在上圖左上角從左到右數第三個‘朱冪’的位置，叫它乙；
Ｃ、上述兩三角形在‘朱冪’處的兩個角是互補的（這是由Ａ和Ｂ推出的），所以在上圖中、用粗線畫出的四邊形的頂點的內角是個直角；
Ｄ、取同樣步驟，用另外兩個該直角三角形的副件，丙和丁，砌出上圖中、用粗線畫出的整個四邊形，丙居右下方，丁居左下方；而且與Ｃ同理可證，此四邊形每個頂點的內角都是直角；
Ｅ、由於此四邊形每邊都是那直角三角形的弦，此四邊形乃以該弦為邊的正方形；
再作兩個關鍵的圖形重組：
Ｆ、把乙搬到甲的左上面、圖中左上角‘朱冪’的位置，與甲拼成一豎放的長方形（之所以是長方形，是因為兩三角形相貼的兩內角互補）；
Ｇ、把丙搬到丁的左下面、圖中左下角‘朱冪’的位置，與丙拼成一橫臥的長方形（之所以是長方形，是因為相貼的兩內角互補）；
最後，在視角上的作一飛躍：
Ｈ、以直角三角形的弦為邊的正方形（圖中粗線界定者）＝Ｆ和Ｇ兩步所述的兩個長方形 加上 圖中央的‘黃冪’；
Ｉ、上述等式的右方＝以直角三角形的短邊為邊的正方形 加上 以直角三角形的長邊為邊的正方形；
所以，以弦為邊的正方形的面積＝以短邊為邊的正方形的面積＋以長邊為邊的正方形的面積，
證畢。
要把以上各步變成一個證明，《周髀算經》只需如下的定義或假設：
一、上列的歐幾里德的條件一（一個正方形的面積的算法）；
二、上列的歐幾里德的條件四（一個長方形的面積的算法）；
三、上列的歐幾里德的條件五（一個平面圖形的面積＝對它作有限分割之後、各部份面積的總和；《周髀算經》在上面的拼圖遊戲，用的就是這一假設；可稱之為‘定理氏所蒸餾出來之拼圖公理’，哈）。
妙就妙在，《周髀算經》根本不須歐幾里德的條件二和三。既不用在任意的兩三角形之間定義甚麼叫全等（當然，在直角三角形中全等的定義還是要的，這在拼接那直角三角形的‘副件’時要用；不過這定義無須歐幾里德的那樣要在任意的兩三角形之間弄‘全等’的假設），更不用涉足一般圖形的面積的算法、這個要用到現代量度理論才能弄得清的泥潭。
所以，為了同樣的收益（勾股定理），歐幾里德付出了五個條件的代價，其中一個（‘面積的算法’）還挺昂貴，而《周髀算經》只用了這五個條件中最不昂貴的三個。
二者高下立見。
故本定理曰：周髀算經 克 歐幾里德 於 勾股定理。
註解一：
qhr網友問：從A到E, 你怎麼就能保證四個‘朱冪’就能嚴絲合縫地被砌在‘以該弦為邊的正方形’裡面呢？
定理答：令 Ｘ：＝那直角三角形的長邊，Ｙ：＝那直角三角形的短邊。
從甲和乙的構造，可證‘黃冪’的左邊＝Ｘ－Ｙ，且‘黃冪’左上頂點的內角是直角。
從乙和丙的構造，可證‘黃冪’的上邊＝Ｘ－Ｙ，且‘黃冪’右上頂點的內角是直角。
所以，從粗線畫出的正方形的最左端點至丙的長邊的距離＝Ｙ＋黃冪’的上邊＝Ｙ＋（Ｘ－Ｙ）＝Ｘ。
所以，丁的長邊正好切合。
（‘砌’‘拼圖’等語，可用在平面上畫輔助線來代替，所以不存在不能‘嚴絲合縫’的問題。我用‘砌’‘拼圖’等語，只是為了語言直觀而已。）
註解二：
qhr和崑崙山上一棵草網友，提出另一證法：
做出如圖的輔助線。
首先需用全等三角形定理證明以弦為邊的四邊形是直角。
則以弦為邊的直角四邊形的面積是 （Ｘ-Ｙ)(Ｘ-Ｙ)＋２ＸＹ＝Ｘ^2＋Y^2.
定理答：
你們這證明所略去的那部分（‘首先需用全等三角形定理證明以C為邊的四邊形是直角’）與敝帖‘再作兩個關鍵的圖形重組’以前那些段落相同。而你們的運算則比我用了更多的假設，例如代數的各個運算法則。
（《周髀算經》的證明的一個妙處，是不需要從代數上來定義一個數的‘平方’是甚麼，只須定義一條邊所對應的正方形是甚麼。）
