3.3 量子門

最簡單的量子門是量子非門，類似於經典非門，實現0、1互換，量子非門實現 |0⟩→|1⟩或|1⟩→|0⟩ ，更為一般地說，實現如下變換：a|0⟩+b|1⟩→a|1⟩+b|0⟩。

圖3.6：幾種重要單比特量子門

量子非門用矩陣X表達，被稱為X門，圖3.6中左顯示出X門的符號、矩陣表示，下面是在布洛赫球面上實現的變換。也就是說，X門是將|0⟩態矢量繞着x軸旋轉了180度，最後到達|1⟩，從而實現狀態翻轉。量子力學中有一組泡利矩陣，一組三個2×2的幺正厄米復矩陣，描述自旋和磁場之間的交互作用。其中的s_X就是表示X門的X矩陣。相應地，表示Y門的Y矩陣是s_Y，表示Z門的Z矩陣是s_Z。泡利 Y 門是一個有趣的機器，轉換得到與泡利 X 門相同的結果，|0⟩繞着y軸旋轉了180度到達|1⟩，也實現了|0⟩到|1⟩的狀態翻轉，但是是在複數的虛空間中移動的，因此，Y門實現了相位轉移和比特翻轉，泡利 Z 門使任何向量繞z軸旋轉180度，這意味着如果完全處於|0⟩、|1⟩基態，則Z 門的作用後不會發生任何變化，只有處於兩者之間的矢量才變化。

H門也叫Hadamard門，是一個非常重要的量子門。重要性是在於它的作用是使基態變成疊加態：|0⟩→a|0⟩+b|1⟩，這樣才有可能進行量子計算。其它的量子門作用在基態上，結果仍然是基態，只有H門產生疊加態。

圖3.6最右邊是 S量子門，也叫相位門。相位門保留基態|0⟩，並且將|1⟩轉換成 e^iθ（乘）基態|1⟩。若 θ 等於π， 則此門化為泡利-Z門，如果旋轉π/2，則是S門，如果旋轉π/4，則是另外一種T門，圖中未畫出。因此，Z、S、T門都是特殊的相位門。

除了單比特量子門之外，還有多比特量子門，如雙比特量子門。最簡單的是CNOT，或稱“受控非門”，它的輸入是兩個量子比特，一個控制比特和一個被控比特。如果控制比特量子態為 |1⟩ ，受控比特翻轉，否則受控比特保持不變。雙比特量子門的變換矩陣是4x4的，如圖3.7中右上角CNOT門的矩陣。

圖3.7：多比特量子門

圖3.7下方的托弗利門是3量子比特門，看起來與CNOT門差不多，多了一個結點，即有兩個控制端。如果兩個控制比特是狀態 |1⟩，則對被控比特進行泡利-X運算，反之，不滿足條件則不做任何操作。托弗利門來自於一種經典通用可逆邏輯門。任意可逆電路可由托佛利門構造得到，可逆的意思是說計算過程是可逆的，邏輯電路輸入輸出交換後的結果相同。量子計算天生具有可逆性，因為量子計算每一步都是酉矩陣，酉矩陣是可逆矩陣，所以量子計算可逆。

還有一種反控（或負控）非門，如圖3.8所示。顧名思義，它的行為和（正）受控非門相反，當控制比特為|0⟩時才會翻轉受控比特。受控門也可以有多個控制比特進行組合，如圖3.8的組合控制Z門。圖3.8中黑點表示正控，空圈表示負控。

圖3.8：正控門和反控門

3.4 量子電路

量子計算機的運算在Qubit上進行，但輸入和輸出時仍然使用經典比特，所以，整個量子計算如圖3.9中的大框圖所示，框圖中的量子計算機部分，看起來有點像經典計算機中電路圖。

圖3.9：量子電路框圖

人們用量子電路說明量子門如何控制量子信息，從而實現量子計算。量子電路是用於量子計算的模型，是執行量子位狀態的傳送之路，但它不同於傳統電路，例如：實線並不一定是物理電纜。量子電路的目的是定義事件的時間順序：水平軸是時間，左邊開始右邊結束。左邊開始的水平線是量子比特，下面的雙線代表經典比特，一般與測量相連。

類似經典電路，計算是一系列的量子門，但測量是經典電路沒有的量子操作。這些量子電路圖，都來自於IBM Quantum 模擬器^【5】。

圖3.10：簡單量子電路，2個量子比特，兩個量子門，兩個測量

量子門的可逆性導致整個量子電路的可逆性，這是量子電路的特點之一。可逆性使得量子電路遵循一些特殊規則：一是只有時間順序沒有迴路（loop）；二是輸入和輸出的比特數目相等（圖3.11-a）。另外，控制量子門可以完成某些簡單卻神奇的功能，例如最簡單的CNOT門，如果控制比特處於疊加態時，控制和受控比特之間就會發生量子糾纏，這是產生糾纏態的最簡單量子電路，更多的控制門能表現更多的神奇功能（圖3.11-b）。糾纏態對量子計算有什麼用呢？如對糾纏的任何一個比特施加某種操作，相當於操作施加在了所有量子比特上。

圖3.11：量子電路特例

下面舉一個簡單量子電路模擬例子，說明量子疊加態“概率幅”疊加的特別之處。

我們作如圖3.12所示的3個模擬實驗。每個實驗的上圖是電路，下方是IBM量子模擬結果。產生疊加態的操作是 H門， H門至關重要，它把基態|0⟩變成疊加態。

首先考慮實驗1，這只是一個H門作用在基態|0⟩上，從圖下方模擬結果可見：52%時間給出|0⟩，48%時間是|1⟩，就像擲一枚公平的硬幣一樣：接近 50/50概率。第二個實驗是第一個稍作改變的情形，也就是使用X門將量子位首先從|0⟩變成|1⟩，再生成另一種疊加態然後進行標準測量，結果會怎麼樣呢？

我們發現實驗結果與第一個實驗類似，除了電路不同外。結果顯示|0⟩和|1⟩的分布也接近 50/50，是53%時間給出|0⟩，47%給出|1⟩。

我們從這兩個實驗結果乍一看，感覺H門的作用類似於拋1個（公正）硬幣。

然而，H門所代表的量子隨機性，實際上與拋硬幣是完全不一樣的。讓我們再運行實驗3，就能看看有何不同。實驗3中有兩個連續的H門。如果我們認為 H門類似於拋硬幣的話，那麼兩個串聯的H門應該等於拋兩次硬幣。那麼從經典經驗，你仍然會期望接近 50/50 的分布。但是這次的結果令人驚訝，與經典不同，結果發現輸出量子位總是處於狀態|0⟩（99%的概率），似乎兩次H門的作用消除了隨機性而給出了一個確定性的結果！

圖3.12：說明量子 “概率幅”疊加的模擬實驗

因此，量子隨機性不僅僅是經典的隨機拋硬幣。上述結果是如何產生的？在實驗1中，H門產生一個新狀態：

|+⟩  = H|0⟩= 2^-1/2(|0⟩+|1⟩)，

它是|0⟩和|1⟩的均勻疊加。測量使系統以相等概率處於|0⟩或|1⟩。實驗2中的新狀態是 

|-⟩ = H|1⟩ = 2^-1/2(|0⟩-|1⟩)，

仍然是狀態|0⟩和|1⟩的均勻疊加但符號不同。實驗3可以視為兩個實驗H|0⟩和H|1⟩的總和。如果我們將這兩個實驗加在一起，狀態|1⟩會因為減號而抵消，狀態|0⟩則因加號而增強。這裡我們看到了經典概率p和量子概率幅的差異：概率幅可以是正的、負的，甚至是複數。概率幅的疊加產生干涉，而測量只能檢測經典概率無法檢測相位（負號）。

圖3.13：經典的概率相加不同於量子的概率幅相加

參考文獻：

【1】Keynote talk, 1st conference on Physics and Computation, MIT, 1981。(International Journal of Theoretical Physics, 21: 467–488, 1982)

【2】Thomas H. Cormen; Charles E. Leiserson; Ronald L. Rivest; Clifford Stein; 殷建平等譯. 第1章 算法在計算機中的作用. 算法導論 原書第3版. 北京: 機械工業出版社. 2013年1月

【3】張天蓉. 世紀幽靈-走近量子糾纏（第二版）[M].合肥：中國科技大學出版社，2020年5月。

【4】Bloch Sphere（wikipedia），https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere

【5】IBM Quantum (2022). estimator primitive (Version x.y.z) [computer software]. https://quantum-computing.ibm.com/

相關視頻：

（待續）

Contents

**** 1.  前言 ****

**** 2.  歷史 ****

**** 3.  基礎 ****

3.1 疊加態

3.2 量子比特

3.3 量子門

3.4 量子電路

**** 4.  算法 ****

4.1 Grover 量子搜索算法

4.2 多伊奇算法

4.3 秀爾算法-1（經典，數論部分）

4.4 秀爾算法-2（量子部分）

**** 5.  實現 ****

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作者部分YouTube視頻：

https://www.youtube.com/watch?v=0I8FdazqAvc&list=PL6YHSDB0mjBKB2LBZDKL9UhcMMx6GtOsx

https://www.youtube.com/watch?v=_d0wquZkOYU&list=PL6YHSDB0mjBJ6qgfin-xKmP3FtTQr4x7i

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