一.数学与哲学
自古以来，数学与哲学的联系是非常密切的。人们在不断发展、运用数学的同时，
提出了许多问题。数学大厦的基础是否巩固？它的结构是否黑有内在的缺陷？数学是否
可以无条件的信赖？这些都是和数学有关的哲学问题。另一方面，许多哲学观点的形成
或展开，和数学又有不解之缘。数学作为一门抽象的科学，对于一般的世界观和方法论
有重大的影响。因而，和数学有关的一系列的哲学问题，值得关心数学的人们深思。
二.现代数学基础的哲学挑战
19世纪末到20世纪初，数学发展进入了一个激烈的变革时期。
在历史上，人们多次统一数学的企图均未成功。19世纪70年代，德国数学家康托尔
创立无穷集合论，为统一数学的尝试提供了新的基础。在19世纪即将结束之际，数学分
析基础注入严密性和精确性因集合论的应用而得以成功，数学概念的建立也因集合论的
应用终于统一起来。整个数学呈现出空前的繁荣景象。在1940年第二届国际数学家会议
上，当时数学界的领袖人物庞加莱宣布：“现在我们可以说，数学的完全严格性已经达
到了。”但是，这位数学权威的话音刚落，就爆发了极为深刻的、震撼整个数学大厦的
第三次数学危机，从而导致了一场由许多数学家卷入的关于数学基础的哲学论战。1902
年，罗素发现的一个悖论真正强烈地引起了数学家的恐慌。罗素悖论可以表达为：所有
不以自身为元素的集合所组成的集合。罗素悖论之所以不能等闲视之是因为，只要将它
的陈述形式稍作修改，就可以用最基础的逻辑形式表达出来。因此，罗素悖论不仅触及
集合论这一数学基础，而且也触动了逻辑学，因而使数学家和逻辑学家同时发出惊呼：
数学基础发生危机了！
三.三大主要学派的诞生
数学基础的危机向数学家们提出了一个问题：如何解决数学基础的可靠性和基础性
的问题？可是要解决这个问题，既有技术问题，又有哲学问题。从技术上说，首先必须
找到产生悖论的原因。根据罗素对悖论成因的分析，他认为：集合论产生悖论的根源在
于集合的定义出现循环定义，或者叫做非直谓定义，即一个对象集合包含着只能用该集
合才能定义的元素；从哲学上说，就已经出现的悖论来看，都出现“所有......集合的
集合”的情况，这是一个涉及无穷总体的问题，也就是说，它涉及对哲学理论中的无穷
的认识问题。
但是，要解决这两个问题，首先遇到的不是技术性的问题，而是如何看待数学的真
理性和无穷的问题，然后才能从具体技术入手去解决它。对这两个问题的不同认识就产
生了不同的哲学观点，而在不同哲学观点支配下就产生不同的逻辑解决方法。这两方面
结合在一起就在数学史上构成了三个不同的数学基础研究学派：逻辑主义、直觉主义和
形式主义。
四.三大主要学派的哲学思想
数学基础从产生的初期便分成相互对立的三大学派：最早出现的是以罗素为代表的
逻辑主义，它强调逻辑而排斥直觉，主张逻辑是整个数学的唯一基础；继之而起的是以
布劳威尔为代表的直觉主义，它强调直觉而排斥逻辑，主张直觉才是数学的唯一基础；
最后兴起的是以希尔伯特为代表的形式主义，认为逻辑具有先验的真理性以及数学整个
地具有逻辑的特征，它主张通过逻辑的相容性即无矛盾性来维护数学的数学的真理性和
合法性。三派之间的热烈辩论成为现代数学史上著名的数学基础大论战。他们从各自的
哲学观点出发，对悖论引起的数学危机，从概念的准确性、提法的严密性、推理的合理
性等方面一一加以审查，对数学的本质、数学对象的存在性、数学的真理性以及与数学
有关的逻辑问题等进行哲学思考。
（一）.逻辑主义
逻辑主义学派的论题是，数学可以还原为逻辑学，因此，数学只不过是逻辑学的一
部分。他们认为，数学概念可以通过显定义而从逻辑概念推导出来，数学定理可以通过
纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理推导出来。按照罗素的主张，数学只不过是由命题p推出
命题q的这种演绎的总和。他认为数学研究的对象是形式结构，数学只有形式而无内容。
即，逻辑主义哲学观点的基本内容包括：一是先有逻辑而后有数学，二是整个数学大厦
可以完全建立在逻辑的基础上。
评述：
1. 以罗素为代表的逻辑主义学派认为，数学是由逻辑派生出来的，即数学与经验事实
无关，而是先验地从逻辑公理系统演绎出来的。依次，数学变成纯逻辑的产物。显然，
这种观点与数学渊源于客观实际是背道而驰的，所以说逻辑主义从哲学和认识论的观点
来看，其出发点带有唯心主义的色彩。
2. 方法的不可行性
逻辑主义者企图从一个逻辑公理系统中演绎出整个数学是不可能的。尽管他们作了
大量的工作，然而他们从自己设计的所谓出来的纯逻辑公理系统的基础上进行逻辑演绎
推理时，却“暗地里”利用了集合论中的无穷公理和选择公理，而这两个公理并非逻辑
公理。给逻辑主义以致命打击的是哥德尔的不完备性定理，它证明了从逻辑并不能推出
算术的正确性来，因而宣告了把数学全部归结为逻辑的企图是不可能的。
3. 逻辑主义对数学发展的主要贡献
以罗素为代表的逻辑主义学派的历史功绩是不可磨灭的。他们为现代数理逻辑奠定
了基础。而符号逻辑的公理化，揭示了数学与逻辑之间的关系，对于当今计算机的研制
和人工智能的研究具有巨大现实意义。
（二）.直觉主义
直觉主义学派的基本哲学立场是把数学看成人类心智固有的一种制造活动，是人脑
一种自由的、生气勃勃的思维（精神）活动所带来的产物。它主张数学的对象及真理不
能脱离数学的理性或直觉而独立存在，数学理论的真伪只能通过人的直觉来判断；其次，
直觉主义者认为无穷是产生悖论的根源，因此必须在数学中彻底地排斥产生悖论的根源，
即康托尔等人提出的实无限。
现代直觉主义系统理论的创立者是荷兰数学家布劳威尔，比起早期先驱者，无论是
哲学上，还是在数学上，都更加彻底、完整地发展了直觉主义观点。他坚持认为概念性
思维不是数学本身的一个部分，概念只不过是理性对创造的性质加以隔离而产生的纯消
极产物，概念性思维不能给数学带来任何有益的贡献，在直觉中是找不到概念思维的。
直觉主义学派最惊人的主张是反对把排中律运用于无穷集合，这其中包含着精彩的辨证
思想，而哥德尔1931年证明的不完备性，确确实实使人们认识到排中律绝对性的亏损：
排中律没有先验的绝对的正确性。
评述：
1. 对整个数学发展的不利因素
其一，直觉主义着认为先数学而后逻辑，逻辑只不过是数学的一个分支和论证手段
之一。他们和逻辑主义者都不承认数学研究的对象渊源于客观实际，因此他们的观点也
是属于唯心主义流派。
其二，整个直觉主义运动，是从对经典数学的顽强的哲学开始的。他们认为经典数
学是形而上学。正因为如此，直觉注意付出了巨大的代价。在数学方面丢失了许多的经
典成果。
2. 积极意义
直觉主义者强调可构造性或可行性对现代递归函数论的建立和发展起了很大的推动
作用，特别是对计算机数学的发展意义更大。
直觉主义逻辑仍将是数理逻辑研究中的一个重要课题，只是它已经输入了辨证的新
时代精神而继续对数学进行哲学思考。
（三）.形式主义
希尔伯特是反对直觉主义最有力的形式主义学派的领导人，而且是当之无愧的最伟
大的现代数学家。在1899年至1931年发展的十几部著作中，他提出了大部分形式主义观
点。形式主义逻辑和书必须同时加以研究，两者的公理系统的基本概念都是没有意义的。
数学思维的对象是符号本身，符号就是本质。公理也只是一行行符号，无所谓真假，只
要证明该公理系统是相容的，那么该公理系统便获得承认。因此，数学本身是一堆形式
演绎系统的集合，每个形式系统都包含自己的逻辑、概念、公理、定理及其推导法则。
数学的任务就是发展出每一个由公理系统所规定的形式演绎系统，在每一个系统中，通
过一系列程序来证明定理，只要这种推演过程不产生矛盾，便获得一种真理。
评述：
首先，希尔伯特一方面要尽量地保留经典数学中的基本概念。方法和逻辑推演规则
，特别是涉及到有关无限概念的逻辑演绎规则。但另一方面，又为了保证所有数学证明
的可靠性及整个数学大厦的纯洁性。他们把数学分为“真实数学”和“理想数学”两大
类。凡是涉及到有限概念和有限集合的数学称为真实数学，而涉及到实无限概念和超穷
方法的数学系统称为理想数学。同时，希尔伯特试图通过有限步骤的构造性方法，在元
数学中实现理想数学的协调性和完全性，以达到实无限的理想化在应用上的有效性。然
而，哥德尔的“不完备性定理”表明形式系统在数学中决非可能，根本不可能穷尽全部
数学真理，而只具有相对的真理性，有力地论证了马克思主义关于相对真理与绝对真理
相互关系的理论。
其次，形式主义者数学的真理性归结为逻辑的无矛盾性是有其片面性的。因为满足
逻辑无矛盾的公理系统不一定都是真理，它仅是发展数学和验证数学真假性的必要条件
，而非充分条件。
最后，尽管形式主义者忽视了数学渊源于实际，而且片面地夸大了逻辑对数学的作
用，然而形式主义学派对二十世纪的数学进展却起了很大的推动作用，特别是对数学基
础理论的研究。在“元数学”这个领域内的工作大大改进了数学家们对数学推理本质的
理解，把形式公理学向前推进了一大步，从而成为公理学发展史上最重要的转折点，标
志着数学的发展进入了研究形式系统的新阶段。现在，元数学已发展成为数理逻辑四大
分支之一，它提出的可判定性问题导致可计算性和一种算法概念的确定。由希尔伯特及
其使之精确化的形式数学语言，奠定了构造算法语言的基础。
总述：
在逻辑主义、直觉主义、形式主义三大学派为了数学基础问题展开的这场激烈的大
论战中，一方面各有其局限，另一方面也各有其创见，而且通过激烈的辩论，在一定程
度上起到了互相借鉴与互相促进的作用。所以，通过这场论战，尽管数学基础问题还尚
未完全得到彻底解决，但各个学派得到了不同程度的发展，而且对整个数学的发展也起
到了推动作用。由此可见，允许不同的数学观点和学派的存在和争论，对数学的发展是
有益的。
当今的数学家已不再明显地划分为三派，但是观点上的倾向性还是存在的。一般说
来，多数人对历史上的三派能够争取扬长避短的态度，继承各派的合理成分。
