一.數學與哲學
自古以來，數學與哲學的聯繫是非常密切的。人們在不斷發展、運用數學的同時，
提出了許多問題。數學大廈的基礎是否鞏固？它的結構是否黑有內在的缺陷？數學是否
可以無條件的信賴？這些都是和數學有關的哲學問題。另一方面，許多哲學觀點的形成
或展開，和數學又有不解之緣。數學作為一門抽象的科學，對於一般的世界觀和方法論
有重大的影響。因而，和數學有關的一系列的哲學問題，值得關心數學的人們深思。
二.現代數學基礎的哲學挑戰
19世紀末到20世紀初，數學發展進入了一個激烈的變革時期。
在歷史上，人們多次統一數學的企圖均未成功。19世紀70年代，德國數學家康托爾
創立無窮集合論，為統一數學的嘗試提供了新的基礎。在19世紀即將結束之際，數學分
析基礎注入嚴密性和精確性因集合論的應用而得以成功，數學概念的建立也因集合論的
應用終於統一起來。整個數學呈現出空前的繁榮景象。在1940年第二屆國際數學家會議
上，當時數學界的領袖人物龐加萊宣布：“現在我們可以說，數學的完全嚴格性已經達
到了。”但是，這位數學權威的話音剛落，就爆發了極為深刻的、震撼整個數學大廈的
第三次數學危機，從而導致了一場由許多數學家捲入的關於數學基礎的哲學論戰。1902
年，羅素發現的一個悖論真正強烈地引起了數學家的恐慌。羅素悖論可以表達為：所有
不以自身為元素的集合所組成的集合。羅素悖論之所以不能等閒視之是因為，只要將它
的陳述形式稍作修改，就可以用最基礎的邏輯形式表達出來。因此，羅素悖論不僅觸及
集合論這一數學基礎，而且也觸動了邏輯學，因而使數學家和邏輯學家同時發出驚呼：
數學基礎發生危機了！
三.三大主要學派的誕生
數學基礎的危機向數學家們提出了一個問題：如何解決數學基礎的可靠性和基礎性
的問題？可是要解決這個問題，既有技術問題，又有哲學問題。從技術上說，首先必須
找到產生悖論的原因。根據羅素對悖論成因的分析，他認為：集合論產生悖論的根源在
於集合的定義出現循環定義，或者叫做非直謂定義，即一個對象集合包含着只能用該集
合才能定義的元素；從哲學上說，就已經出現的悖論來看，都出現“所有......集合的
集合”的情況，這是一個涉及無窮總體的問題，也就是說，它涉及對哲學理論中的無窮
的認識問題。
但是，要解決這兩個問題，首先遇到的不是技術性的問題，而是如何看待數學的真
理性和無窮的問題，然後才能從具體技術入手去解決它。對這兩個問題的不同認識就產
生了不同的哲學觀點，而在不同哲學觀點支配下就產生不同的邏輯解決方法。這兩方面
結合在一起就在數學史上構成了三個不同的數學基礎研究學派：邏輯主義、直覺主義和
形式主義。
四.三大主要學派的哲學思想
數學基礎從產生的初期便分成相互對立的三大學派：最早出現的是以羅素為代表的
邏輯主義，它強調邏輯而排斥直覺，主張邏輯是整個數學的唯一基礎；繼之而起的是以
布勞威爾為代表的直覺主義，它強調直覺而排斥邏輯，主張直覺才是數學的唯一基礎；
最後興起的是以希爾伯特為代表的形式主義，認為邏輯具有先驗的真理性以及數學整個
地具有邏輯的特徵，它主張通過邏輯的相容性即無矛盾性來維護數學的數學的真理性和
合法性。三派之間的熱烈辯論成為現代數學史上著名的數學基礎大論戰。他們從各自的
哲學觀點出發，對悖論引起的數學危機，從概念的準確性、提法的嚴密性、推理的合理
性等方面一一加以審查，對數學的本質、數學對象的存在性、數學的真理性以及與數學
有關的邏輯問題等進行哲學思考。
（一）.邏輯主義
邏輯主義學派的論題是，數學可以還原為邏輯學，因此，數學只不過是邏輯學的一
部分。他們認為，數學概念可以通過顯定義而從邏輯概念推導出來，數學定理可以通過
純粹的邏輯演繹法而從邏輯公理推導出來。按照羅素的主張，數學只不過是由命題p推出
命題q的這種演繹的總和。他認為數學研究的對象是形式結構，數學只有形式而無內容。
即，邏輯主義哲學觀點的基本內容包括：一是先有邏輯而後有數學，二是整個數學大廈
可以完全建立在邏輯的基礎上。
評述：
1. 以羅素為代表的邏輯主義學派認為，數學是由邏輯派生出來的，即數學與經驗事實
無關，而是先驗地從邏輯公理系統演繹出來的。依次，數學變成純邏輯的產物。顯然，
這種觀點與數學淵源於客觀實際是背道而馳的，所以說邏輯主義從哲學和認識論的觀點
來看，其出發點帶有唯心主義的色彩。
2. 方法的不可行性
邏輯主義者企圖從一個邏輯公理系統中演繹出整個數學是不可能的。儘管他們作了
大量的工作，然而他們從自己設計的所謂出來的純邏輯公理系統的基礎上進行邏輯演繹
推理時，卻“暗地裡”利用了集合論中的無窮公理和選擇公理，而這兩個公理並非邏輯
公理。給邏輯主義以致命打擊的是哥德爾的不完備性定理，它證明了從邏輯並不能推出
算術的正確性來，因而宣告了把數學全部歸結為邏輯的企圖是不可能的。
3. 邏輯主義對數學發展的主要貢獻
以羅素為代表的邏輯主義學派的歷史功績是不可磨滅的。他們為現代數理邏輯奠定
了基礎。而符號邏輯的公理化，揭示了數學與邏輯之間的關係，對於當今計算機的研製
和人工智能的研究具有巨大現實意義。
（二）.直覺主義
直覺主義學派的基本哲學立場是把數學看成人類心智固有的一種製造活動，是人腦
一種自由的、生氣勃勃的思維（精神）活動所帶來的產物。它主張數學的對象及真理不
能脫離數學的理性或直覺而獨立存在，數學理論的真偽只能通過人的直覺來判斷；其次，
直覺主義者認為無窮是產生悖論的根源，因此必須在數學中徹底地排斥產生悖論的根源，
即康托爾等人提出的實無限。
現代直覺主義系統理論的創立者是荷蘭數學家布勞威爾，比起早期先驅者，無論是
哲學上，還是在數學上，都更加徹底、完整地發展了直覺主義觀點。他堅持認為概念性
思維不是數學本身的一個部分，概念只不過是理性對創造的性質加以隔離而產生的純消
極產物，概念性思維不能給數學帶來任何有益的貢獻，在直覺中是找不到概念思維的。
直覺主義學派最驚人的主張是反對把排中律運用於無窮集合，這其中包含着精彩的辨證
思想，而哥德爾1931年證明的不完備性，確確實實使人們認識到排中律絕對性的虧損：
排中律沒有先驗的絕對的正確性。
評述：
1. 對整個數學發展的不利因素
其一，直覺主義着認為先數學而後邏輯，邏輯只不過是數學的一個分支和論證手段
之一。他們和邏輯主義者都不承認數學研究的對象淵源於客觀實際，因此他們的觀點也
是屬於唯心主義流派。
其二，整個直覺主義運動，是從對經典數學的頑強的哲學開始的。他們認為經典數
學是形而上學。正因為如此，直覺注意付出了巨大的代價。在數學方面丟失了許多的經
典成果。
2. 積極意義
直覺主義者強調可構造性或可行性對現代遞歸函數論的建立和發展起了很大的推動
作用，特別是對計算機數學的發展意義更大。
直覺主義邏輯仍將是數理邏輯研究中的一個重要課題，只是它已經輸入了辨證的新
時代精神而繼續對數學進行哲學思考。
（三）.形式主義
希爾伯特是反對直覺主義最有力的形式主義學派的領導人，而且是當之無愧的最偉
大的現代數學家。在1899年至1931年發展的十幾部著作中，他提出了大部分形式主義觀
點。形式主義邏輯和書必須同時加以研究，兩者的公理系統的基本概念都是沒有意義的。
數學思維的對象是符號本身，符號就是本質。公理也只是一行行符號，無所謂真假，只
要證明該公理系統是相容的，那麼該公理系統便獲得承認。因此，數學本身是一堆形式
演繹系統的集合，每個形式系統都包含自己的邏輯、概念、公理、定理及其推導法則。
數學的任務就是發展出每一個由公理系統所規定的形式演繹系統，在每一個系統中，通
過一系列程序來證明定理，只要這種推演過程不產生矛盾，便獲得一種真理。
評述：
首先，希爾伯特一方面要儘量地保留經典數學中的基本概念。方法和邏輯推演規則
，特別是涉及到有關無限概念的邏輯演繹規則。但另一方面，又為了保證所有數學證明
的可靠性及整個數學大廈的純潔性。他們把數學分為“真實數學”和“理想數學”兩大
類。凡是涉及到有限概念和有限集合的數學稱為真實數學，而涉及到實無限概念和超窮
方法的數學系統稱為理想數學。同時，希爾伯特試圖通過有限步驟的構造性方法，在元
數學中實現理想數學的協調性和完全性，以達到實無限的理想化在應用上的有效性。然
而，哥德爾的“不完備性定理”表明形式系統在數學中決非可能，根本不可能窮盡全部
數學真理，而只具有相對的真理性，有力地論證了馬克思主義關於相對真理與絕對真理
相互關係的理論。
其次，形式主義者數學的真理性歸結為邏輯的無矛盾性是有其片面性的。因為滿足
邏輯無矛盾的公理系統不一定都是真理，它僅是發展數學和驗證數學真假性的必要條件
，而非充分條件。
最後，儘管形式主義者忽視了數學淵源於實際，而且片面地誇大了邏輯對數學的作
用，然而形式主義學派對二十世紀的數學進展卻起了很大的推動作用，特別是對數學基
礎理論的研究。在“元數學”這個領域內的工作大大改進了數學家們對數學推理本質的
理解，把形式公理學向前推進了一大步，從而成為公理學發展史上最重要的轉折點，標
志着數學的發展進入了研究形式系統的新階段。現在，元數學已發展成為數理邏輯四大
分支之一，它提出的可判定性問題導致可計算性和一種算法概念的確定。由希爾伯特及
其使之精確化的形式數學語言，奠定了構造算法語言的基礎。
總述：
在邏輯主義、直覺主義、形式主義三大學派為了數學基礎問題展開的這場激烈的大
論戰中，一方面各有其局限，另一方面也各有其創見，而且通過激烈的辯論，在一定程
度上起到了互相借鑑與互相促進的作用。所以，通過這場論戰，儘管數學基礎問題還尚
未完全得到徹底解決，但各個學派得到了不同程度的發展，而且對整個數學的發展也起
到了推動作用。由此可見，允許不同的數學觀點和學派的存在和爭論，對數學的發展是
有益的。
當今的數學家已不再明顯地劃分為三派，但是觀點上的傾向性還是存在的。一般說
來，多數人對歷史上的三派能夠爭取揚長避短的態度，繼承各派的合理成分。
