關於概率的爭論

(by 孫道椿 華南師範大學數學系)

有的事情通過一系列實驗或觀察, 會得到不同的結果. 對幾種結果呈現出一種偶然性. 我們稱這種現象為隨機現象. 隨機現象的每種結果, 稱為隨機事件.

一、概率的統計定義: 記某個隨機事件為A, 若在u次彼此無關的試驗(或觀察)中出現了v次, 則稱F(u,A)=v/u為隨機事件A在u次獨立試驗中出現的頻率. 事件A發生的頻率v/u會在某一常數P附近擺動. 且當u越大時, 這種擺動幅度越小, 則稱常數P為事件A的概率. 記為P(A).

概率的統計定義是一種最基礎的定義. 它說明了事件的概率是客觀存在的. 也給出了概率的最原始求法. 從定義可以看出, 我們指的隨機現象應具有二個條件:

i) 不確定性: 每次實驗的結果(事件)具有多個可能性, 且不能確定每次試驗會出現哪種結果.

ii) 可重複性: 在相同的條件下, 試驗可重複進行; 或者可以同時進行多次的相同試驗.

(1) 平常, 人們對第一個條件"不確定性"映象很深. 對第二個條件-可重複性, 往往容易忽視. 從定義可以看出, 概率論是一門實踐性很強的科學. 忽視了可重複性, 就忽視了它的基礎.

(2) 有些事情: 比如美國的總統選舉. 雖然選舉前不能確定它的結果, 但它不滿足可重複性. 所以它不是數學中所指的隨機現象. 因此也不存在"概率"的問題. 如果有四人預測美國的選舉結果:

甲說"布什有95%的可能當選."
乙說"布什有50%的可能當選."
丙說"布什有5%的可能當選."
丁說"布什肯定不會當選."

若結果是布什當選了. 上面僅有丁一人說錯. 若布什沒有當選. 上面四人全沒有錯. 由於美國的選舉不可重複. 實際上, 前面三人說的話是不可驗證的, 它只是反映了說話人的主觀態度及認識. 在概率論中是無意義的.

有人認為對美國的選舉結果談"概率"是可以的. 但是：

1) 你總要提出它的定義, 及計算方法. 由於沒有可重複性, 這裡已不能用統計定義計算. 即使你提出了一種不同的方法, 那麼或者你必須證明你的定義與公認的統計定義等價, 或者你提出的是另一種意義下的"概率". 決不是上述統計定義下的概率.

2) 你必須對結果作出判斷. 至少要合理地指出上面甲,乙,丙,丁的說法, 誰更正確. 有人說可通過民意測驗的結果可計算布什當選的概率. 但總得有個具體的方法. 比如說, 若民意測驗的結果是80%. 您如何具體地計算出概率? 當選的概率應是100%? 90%? 還是80%? 若民意測驗的結果是55%. 您又如何計算出概率?

二、有一類人們稱為古典概型的最簡單的情況, 可以通過概率的古典定義計算概率. 但它必須滿足下面的條件:

i) 有有限的基本事件組A_1,A_2,…,A_n. (我們說的基本事件, 是根據問題的需要自主決定的. 但一定要具有完整性及互不相容性, 即: 每次試驗, 有且僅有這n種事件{A_j}中的一種試驗結果發生. 例如, 擲骰子, 我們可以將出現1點,2點,…,6點看成由6個事件組成的基本事件組. 也可以根據需要將"奇數點", "偶數點"看成由2個事件組成的基本事件組.)

ii) 等可能性: 每次試驗中, 每個基本事件A_j出現的可能性是相同的, 即它們出現的概率是相等的, P(A_1) = P(A_2) = … = P(A_n). (這裡出現的概率, 我們不妨稱為初始概率. 它仍然要用統計定義為基礎. 從上述可以看出, 沒有可重複性, 就不能科學地談等可能性.)

概率的古典定義: 若實驗結果由n個基本事件A_1,A_2,…,A_n. 這些基本事件的出現具有相等的可能性. 而事件A由其中m個基本事件組成, 則事件A的概率是

P(A)=m/n.

應用概率的古典定義, 特別要注意基本事件的等可能性, 即每個基本事件出現的概率要相等. 因此它是以可重複性為基礎的. 沒有可重複性, 也就不存在等可能性.

2004年廣東省高考有這樣一道填空題(第13題): 某班委會由4名男生與3名女生組成.現從中選出2人擔任正副組長, 其中至少有1名女生當選的概率是----------(用分數作答).

i) 此題的"標準答案"認為, 由於基本事件組有n=(7×6)/2=21 個等可能的基本事件. 其中事件A"至少有1名女生"是由 m=(3×4)+(2×3)/2=15個基本事件組成. 於是根據"概率的古典定義", 答案為: P(A)=m/n=5/7.

ii) 我們也可以將"有1名男生當選", "有2名男生當選", "沒有男生當選"看成由3個等可能的基本事件組. 這樣"至少有1名女生當選"就由2個基本事件組成. 因此答案應該是2/3.

二種解法的答案不同. 到底誰對? 二種解法都有合規定的基本事件組. 問題出在對等可能性的理解上. 許多人會認為第一種方法是等可能的. 但仔細想想, 這其實是個人的主觀感覺. 由於沒有可重複性為基礎, 誰能說清楚, 第一種就比第二種合理呢? 別忘了要想科學地說清楚, 首先你要建立一個可操作的準則. 沒有一個公認的準則, 就只能象平常給女孩子打分一樣, 打90分, 70分, 只是隨便說說而已. 是不能算數學方法的. 數學的特點是講定義, 講證明. 歷史上,人們憑感覺大地是平的, 結果是阻礙了人們對地球的認識; 憑感覺, 過線外一點只能作一條平行線, 結果是推遲了非歐幾何的出現.

有人說第二種解法中，"沒有男生當選"是由“女甲，女乙”，“女甲，女丙”，“女乙，女丙”3種情況組成；"有2名男生當選"是由(4×3)/2=6種；"有1名男生當選"是由4×3=12種情況組成。它們怎麼會是等可能的呢？我們冷靜想想，說這種話的人其實是默認了第一種基本事件組是等可能的。反過來，若默認第二種基本事件組是等可能的，那麼第一種基本事件組就一定不是等可能的了。

有人說第二種解法中的基本事件組不是不可分的。其實“不可分”本沒有定義。所謂“基本事件組”它只是根據研究問題的需要選定的。“生男孩”，“生女孩”通常可看成“基本事件組”。但若要研究男，女孩的體重分布，又可細分成：“4-5斤的男孩”，“5-6斤的男孩”，…“4-5斤的女孩”，…等，組成“基本事件組”。

在概率的公理化結構中，在滿足幾條公理的前提下，對隨機事件及概率是可以人為規定的。若在上面題目中申明“假定每個人被選中的概率是相等的”，到也說得過去。但對數學的假定，尤其是在中學，應有相對的合理性，應有實踐為背景. 比如: 假定天上有十個太陽；假定一個人頭上長三隻眼, 放在數學應用題中，都是不合適的。選舉的精神是體現民意, 其基礎就是承認人與人之間有差異. 若要將結果規定成等可能的, 也就沒有必要進行選舉, 用抽籤決定更省事。

事實上, 在嚴謹的教科書中, 只會將選舉用於排列組合題, 而不會用於求概率題. 二者絕不能混為一談. 選舉題可用於排列組合問題, 是因為排列組合只考慮有幾種結果, 不涉及可能性的大小, 但決不能想當然地照搬到概率題.

順便指出: 生活中除擲骰子, 抽撲克牌…等是古典概型外. 買彩票也是一個符合古典概型的例子. 每張彩票都是等可能的, 即中獎的機會是一樣的。有些人, 甚至我們的報紙, 教人們如何選購彩票較有利. 實際上是誤導彩票購買者。

作者注: 今年高考是廣東省第一次自主命題，針對其中一題，寫了此文，投“華中師範大學”數學系主辦的"數學通訊"雜誌，希望引起爭嗚。不想稿被退回，理由是編輯們不同意此文觀點（看來學術上要民主也難）。 後來發現不贊成此文的人還很多。其中有許多還是對中學教學有重要影響的人。因為我更認為有必要展開討論, 以便澄清思想、統一認識。不要因此影響廣大學生對概率的理解, 影響中學的教學。

概率小議--兼談廣東省2004年高考第13題 by 孫道椿

(中學數學, MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS, 2004 No.11, 課外園地)

有的事情通過一系列實驗或觀察, 會得到不同的結果. 對幾種結果呈現出一種偶然性. 我們稱這種現象為隨機現象. 隨機現象的每種結果, 稱為隨機事件, 簡稱事件. 最簡單的隨機現象是擲硬幣. 每實驗一次有二個可能的結果, "正面", "反面"是二個不同的事件. 人們經過長期實踐發現: 許多隨機事件的出現雖然具有偶然性, 但在大量的試驗中卻呈現明顯的規律-頻率的穩定性. 為驗證此現象, 歷史上有許多學者, 還作過大量的試驗及統計.

一、概率的統計定義: 記某個隨機事件為A, 若在u次彼此無關的試驗(或觀察)中出現了v次, 則稱F_u(A)=v/u為隨機事件A在u次獨立試驗中出現的頻率. 事件A發生的頻率v/u會在某一常數P附近擺動. 且當u越大時, 這種擺動幅度越小, 則稱常數P為事件A的概率. 記為P(A).

概率的統計定義是一種最基礎的定義. 它說明了事件的概率是客觀存在的. 也給出了概率的最原始求法. 從定義可以看出, 我們指的隨機現象應具有二個條件:

i) 不確定性: 每次實驗的結果(事件)具有多個可能性, 且不能確定每次試驗會出現哪種結果.

ii) 可重複性: 在相同的條件下, 試驗可重複進行; 或者可以同時進行多次的相同試驗.

(1) 平常, 人們對第一個條件-不確定性映象很深. 對第二個條件-可重複性, 往往容易忽視. 從定義可以看出, 概率論是一門實踐性很強的科學. 忽視了可重複性, 就忽視了它的重要基礎.

(2) 有些事情: 比如美國的總統選舉. 雖然選舉前不能確定它的結果.但它不滿足可重複性. 所以它不是數學中所指的隨機現象. 因此也不存在"概率"的問題.實際生活中也很少有人問它的概率大小. 如果有四人預測美國的選舉結果:

甲說"布什有95%的可能當選."
乙說"布什有50%的可能當選."
丙說"布什有5%的可能當選."
丁說"布什肯定不會當選."

若結果是布什當選了. 上面僅有丁一人說錯. 若布什沒有當選. 上面四人全沒有錯. 由於美國的選舉不可重複. 實際上, 前面三人說的話是不可驗證的, 它只是反映了說話人的主觀態度及認識. 它不滿足概率的定義, 不是概率論意義下的隨機事件.

(3) 一般的隨機事件, 用統計定義的求出它的概率, 需要做多次實驗(而且還不能找出精確值). 為此, 對實驗合理的設計, 數據的處理, 對結果的可信程度, 是"數理統計"課程中研究的一個重要內容.

二、有一類人們稱為古典概型的最簡單的情況, 可以通過概率的古典定義計算概率. 但它必須滿足下面的條件:

i) 有有限的基本事件組A_1,A_2,…,A_n. (我們說的基本事件, 是根據問題的需要自主決定的. 但一定要具有完整性及互不相容性, 即: 每次試驗, 有且僅有這n種事件{A_j}中的一種試驗結果發生. 例如, 擲骰子, 我們可以將出現1點,2點,…,6點看成由6個事件組成的基本事件組. 也可以根據需要將"奇數點", "偶數點"看成由2個事件組成的基本事件組.)

ii) 等可能性: 每次試驗中, 每個基本事件A_j出現的可能性是相同的, 即它們出現的概率是相等的, P(A_1) = P(A_2) = … = P(A_n). (這裡出現的概率, 我們不妨稱為初始概率.它仍然要用統計定義為基礎.)

概率的古典定義: 若實驗結果由n個基本事件A_1,A_2,…,A_n. 這些基本事件的出現具有相等的可能性. 而事件A由其中m個基本事件組成, 則事件A的概率是 P(A) = m/n.

應用概率的古典定義,特別要注意基本事件的等可能性, 即每個基本事件出現的概率要相等. 因此, 它是以可重複性為基礎的. 沒有可重複性, 也就不存在等可能性.

2004年廣東省高考有這樣一道填空題(第13題):

某班委會由4名男生與3名女生組成.現從中選出2人擔任正副組長, 其中至少有1名女生當選的概率是----------(用分數作答).

i) 此題的標準答案認為, 由於基本事件組有n=(7 times 6)/2=21 個等可能的基本事件. 其中事件A"至少有1名女生"是由 m=(3 times 4)+(2 times 3)/2=15個基本事件組成. 於是根據"概率的古典定義", 答案為: P(A)=m/n=5/7.

ii) 我們也可以將"有1名男生當選", "有2名男生當選", "沒有男生當選"看成由3個等可能的基本事件組. 這樣"至少有1名女生當選"就由2個基本事件組成. 因此答案應該是2/3.

iii) 若將"有女生當選", "沒有女生當選"看成由2個等可能的基本事件組. 這樣"至少有1名女生當選"就由1個基本事件組成, 則答案應為1/2.

三種解法的答案不等. 到底誰對？問題出在哪裡？三種解法都有合規定的基本事件組. 問題出在對等可能性的理解上. 哪一組的確是等可能的, 由於沒有可重複性為基礎, 哪一種都不顯然. 我們無法說清楚哪一種更合理. 不象擲骰子, 抽撲克牌…那樣, 有實驗為背景, 對等可能性的理解有共同的基礎. 我們常說: "實踐是檢驗真理的唯一標準". 沒有可重複性, 就沒有可實踐性, 也就無法判定對錯. 一道題不能判定對錯, 不能算是正常的.

再說, 數學應用題的假設也應有相對的合理性, 要以實踐為背景. 比如: 我們某人步行的速度是每秒一公里; 設明天的氣溫是攝氏80度, 都是不合理的. 選舉的精神是體現民意, 其基礎就是承認人與人之間有差異. 若硬是要將結果規定成等可能的, 也就沒有必要進行選舉, 用抽籤決定更省事. (退一步說, 即使不顧合理性, 至少也要在題目中指明, 假定什麼是等可能的, 以避免出現多種說不清的答案).

事實上, 在嚴謹的教科書中, 只會將選舉用於排列組合題, 而不會用於求概率題. 但二者絕不能混為一談. 選舉題可用於排列組合問題, 是因為排列組合是討論有幾種結果, 不涉及可能性的大小. 但決不能想當然地照搬到概率題.

值得指出: 生活中, 除擲骰子, 抽撲克牌…等是是古典概型外, 買搖獎型彩票也是一個符合古典概型的例子. 每次試驗(搖獎)都是獨立的(即一次搖獎的結果對另一次搖獎的結果沒有影響. 這裡指的結果是指"中獎"或"不中獎", 並不考慮前一次轉下來的金額). 每張彩票都是等可能的, 即中獎的機會是一樣的(當然是在不舞弊的條件下).

對即開型彩票, 每刮開一張彩票就是一次試驗. 每試驗一次: 若未中獎, 對剩餘的每張彩票, 中獎的概率都會上升; 若是中獎, 對剩餘的每張彩票, 中獎的概率均會下降, 故它們不是獨立的. 但每刮開一張彩票, 在剩餘的彩票中, 每張彩票中獎的的概率仍然是相等的. 有些人, 甚至我們的報紙, 教人們如何選購彩票較有利, 實際上是誤導彩票購買者, 是對概率論的否定.

參考文獻

1. 概率論, 復旦大學編, 北京, 高等教育出版社, 1979.
2. 概率論教程, B.B.格涅堅科著, 丁壽田譯, 北京, 人民教育出版社, 1956.