Kontsevich能拿下Fields獎，當然不是鬧着玩的。
Maxim Kontsevich,1964年出生，16歲時獲數學競賽全蘇聯第二名，85年從Moscow
大學畢業（沒拿到本科學位），然後在莫斯科信息傳輸研究所工作5年，其間他有
很多時間花在音樂上，還在業餘的法語強化班上認識了後來的夫人Rosanova。
插一句，Drinfeld得菲爾茲獎的工作是在低溫物理研究所作出的，可見蘇聯的
學術環境有其獨到的一面。
1985-1990是蘇聯政治文化大動盪的時期，許多蘇聯科學家離開了蘇聯，包括
Galfand去了Rutgers，Drinfeld去了Chicago，Margulis和Zelmanov去了Yale。
Kontsevich後來說他自己在這段做數學的時間非常少，但他還是堅持在數學上
做出了不少好的工作。當然和他後來的工作沒法比。
（一）Max-Plank研究所，一生的轉折點
1990年德國波恩大學Max-Plank數學研究所邀請他訪問3個月，就在他準備回莫斯科
的之前，他參加了Max-Plank研究所的一個為期5天的國際會議，第一個報告是
Atiyah，介紹了Witten的一個曲線模空間相交數的猜測，Kontsevich放棄幾個晚上
參加宴會的機會，想出了一個證明的思路，在會議結束前，Kontsevich報告了他的
想法，引起很大的反響。Max-Plank研究所所長Manin於是把他的訪問期限
延長到了3年。這是Kontsevich一生的轉折點，一年後他就完全證明了Witten猜測，
還證明了兩個量子重力模型的數學等價性，開始躋身世界一流數學家行列。
就是下面兩篇文章
[1]Intersection theory on the moduli spaces of curves，
Func. Anal. Appl. 25, No 2, 123-129(1991)
[2]Intersection theory on the moduli spaces of curves and the matrix
Airy function， Comm.Math.Phys. (1992) 147, 1-23
1992年Bonn大學授予Kontsevich博士學位。在Max-Plank研究所期間Kontsevich還
到Harvard,Princeton,Berkeley,Rutgers等大學訪問。
Kontsevich的數學天賦展露無遺，下面這片文章引入了著名的Kontsevich積分，
並用之構造了新的扭結不變量。是目前公認的扭結分類最有效的不變量。
[3]"Vassiliev's Knot Invariants."
Adv. Soviet Math. 16, Part 2, 137-150, 1993.
（二）關於Gromov-Witten不變量
1993年的時候阮勇斌和田剛合作發表了一篇重量級的文章
Mathematical Theory of Quantum Cohomology，其中證明了量子上同調環的
結合律，並且對一類所謂半正定辛流形構造了後來被稱為Gromov-Witten class
的不變量。他們的工作主要是基於Gromov的辛流形偽全純曲線的開創性工作和
Witten在拓撲sigma模型方面的一些物理思想。Gromov-Witten不變量的叫法
最早應該是Kontsevich和Manin的文章
[4]Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry
Comm.Math.Phys.,164:3 (1994), 525-562
Kontsevich和Manin推廣了Ruan和Tian的工作，並且給出了GW不變量的全新解釋，
他們的文章有不嚴格的地方，有一些是“直覺上”和“概念上”的論證，留下了
被人攻擊的口實。但其中的許多思想還是很值得研究的。“嚴格性”是數學家一
直遵循的一條戒律，但現代數學的發展，以及物理學思想對數學的影響日益顯著，
特別是某些物理學家，可以從直觀的物理想法上預測深刻的數學結論，然後把證
明的細節拋給數學家們。似乎在許多大家看來，想法是最最要緊的，技巧嘛，只
要想法對頭，總能推出來的拉。
其實Kontsevich等人的文章還是很推崇Ruan和Tian的工作的。也看到過有人用
Gromov-Ruan-Witten不變量的，反正同行是清楚Ruan和Tian的貢獻的。就象提到
Atiyah-Singer指標定理，人們也不會忘了Hirzbruch和Bott一樣。
GW不變量有很多問題現在還是研究熱點，特別是C.Taubes的工作
建立了GW不變量和SW不變量的聯繫。
（三）同調鏡象對稱，離菲爾茲獎一步之遙
Kontsevich最重要的工作之一同調鏡象對稱是在1993年作出來的，Kontsevich那時
在Berkeley任教。
鏡象對稱是弦論研究里發現的關於3維Calabi-Yau流形的對偶關係，物理學家用
鏡象對稱原理可以預測射影流形上曲線的條數公式，這個是意大利老一輩代數幾何
學家就研究過的問題，但是難度太大，一直沒有進展。沒想到卻在物理上發現了
一線曙光。一下子鏡象對稱就成為弦論里研究最多的分支，但是直到Kontsevich的
工作出爐以前，這個領域裡到處都是猜測，只有一些零星的結果，特別是對於鏡象
對稱的數學解釋沒有一點頭緒。
Kontsevich的以下兩篇文章是巨大的貢獻。
[5]Enumeraion of rational curves via torus actions, preprint,1994
[6]Homological algebra of mirror symmetry
Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Zurich (1994)
vol. I, Birkhauser (1995) 120-139
他給出了幾個射影流形上曲線條數的公式，用計算機驗證的結果和物理上預測的結果
完全一致。他還用Fukaya範疇給出了鏡象對稱的一個數學解釋，
稱為Kontsevich Programm，裡面除了複雜的推導，還有許多的conjecture，直到現在
都還沒法完全搞懂，但人們依然相信Kontsevich的這套理論是站得住腳的。後來
Strominger,Yau,Zaslow從另一個角度給出鏡象對稱的數學解釋，成為現在研究的很熱的
SYZ猜想。
Kontsevich在1994年蘇黎世數學家大會上做一小時報告，內容就是上面的文章[6]。
這時候年僅30歲的Kontsevich已經是公認的國際上最傑出的年輕數學家了。
（四）遠赴巴黎，終獲桂冠
Kontsevich的弟弟是美國San Francisco的計算機視覺專家，Kontsevich本來已經打算
在Berkeley買一套房子終身定居了，這時候巴黎高等研究所邀請他擔任終身教授，
那時侯IHES只有4位終身研究人員，其中有兩位俄國人，Mikhael Gromov和
Nikita Nekrassov，加上那裡不用教書，巴黎又是世界上數一數二的數學中心，
Kontsevich於是離開了對他再三挽留的加州Berkeley分校，成為IHES有史以來最年輕的
一位終身教授。
Kontsevich在巴黎期間繼續有好的工作問世，代表作是
[7]Lyapunov exponents and Hodge structures
in "The mathematical beauty of physics: in memory of Claude Itzykson"
(5-7 juin 1996, Saclay) J.M.Drouffe and J.B.Zuber (Eds.)
Advanced series in mathematical physics (1997) 24, 318-332
[8]Dexxxxation quantization of Poisson manifolds
preprint IHES/M/97/72 (1997)
[9]Operads and Motives in Dexxxxation Quantization
Lett. Math. Phys. (1999) 48, 35-72
[10]with Y.SOIBELMAN
Homological mirror symmetry and torus fibrations
in "Symplectic geometry and mirror symmetry",
K.FUKAYA, Y.-G.OH, K.ONO, G.TIAN (Eds.) World Scientific (2001) 203-263
和一些大家一樣，Kontsevich的一些文章只有預印本，但這並沒有太大的影響，網上
都有的。
比如那個Voevodsky在1996年證明Milnor猜測的文章至今未發表
http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0170/
還有L.Lafforgue的弟弟V.lafforgue證明Baum-Connes猜測的文章也沒有發表
http://www.math.jussieu.fr/~vlafforg/
他們可能是想把文章做的完善一點再投吧。
終於在1998年的國際數學家大會上，Kontsevich和劍橋大學的Borcherds,Gowers，
Harvard的Mcmullen一起獲得菲爾茲獎。聽說Kontsevich在Moscow大學的老師Gelfand
為Kontsevich的獲獎出了很大的力，這個其實無可厚非。畢竟只有獲獎者自己的實力
才是能夠征服挑剔的菲爾茲獎Commitee members的唯一武器。
在ICM上為Kontsevich的工作做介紹的，正是C.Taubes。
