【數學】實用的拉丁方

提起拉丁方（Latin square），做過藥物實驗設計的網友應該對它不陌生。

拉丁方（陣）是一種 n × n 的方陣。在這種 n × n 的方陣里，擁有 n 種不同的元素，每一種不同的元素在同一行或同一列里僅出現1次。

【圖1：拉丁方】

實際上，人們在實際生活中使用的，是拉丁方的一種特殊形式，稱“正交拉丁方（orthogonal Latin square）”。

正交拉丁方，學名是“希臘拉丁方（Graeco Latin square）”。這樣的拉丁方內，至少由2個不同的字符、顏色或字體等組合成為方陣內的每個元素，而且沒有同樣的元素組合會出現在同一個拉丁方內。

【圖2：正交拉丁方】

正交拉丁方可用於科學實驗的設計和體育賽程的編排。

歐拉在研究了拉丁方以及正交拉丁方以後，他證明了：

1】不存在2-階正交拉丁方。

2】當n為奇數，或n為4的倍數時，存在正交n-階拉丁方。

3】剩下則是2倍奇數階的正交拉丁方：6, 10, 14, 18, ...。

可以看出，歐拉解決了所有自然數階的正交拉丁方的四分之三的內容。

由於歐拉費盡心機製作不出6階的正交拉丁方，他推測不存在6階的正交拉丁方，從而又引申出不存在所有的3】的情況。

但是，這次歐拉的猜測是錯誤的。

1901年，法國數學家Gaston Tarry（1843-1931）證明了6階正交拉丁方不存在。

1960年，3位美國數學家Ernest Tilden Parker（1926-1991），Raj Chandra Bose（1901-1987）和Sharadchandra Shankar Shrikhande（1917-）證明了存在除了6階以外的所有2倍奇數階的正交拉丁方。

更加複雜的正交拉丁方還有：

相互正交拉丁方（Mutually orthogonal Latin squares）

【圖3：Mutually orthogonal Latin squares】

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相關鏈接：

拉丁方：

https://en.wikipedia.org/wiki/Latin_square

正交（希臘）拉丁方：

https://en.wikipedia.org/wiki/Graeco-Latin_square

相互正交拉丁方：

https://en.wikipedia.org/wiki/Graeco-Latin_square#Mutually_orthogonal_Latin_squares