數學家楊樂， 江蘇南通人。1962年畢業於北京大學。中國科學院數學與系統科學研究院院長、數學研究所研究員。主要從事複分析研究。對整函數與亞純函數虧值與波萊爾方向間的聯繫作了深入研究，與張廣厚合作最先發現並建立了這兩個基本概念之間的具體的聯繫。在亞純函數奇異方向進行了深入研究，引進了新的奇異方向並對奇異方向的分布給出了完備的解答。對全純與亞純函數族的正規性問題進行了系統研究，建立了正規性與不動點間的聯繫。引進虧函數的概念，證明了有窮下級亞純函數的虧函數至多是可數的。與英國學者合作解決了著名數學家立特沃德的一個猜想。對整函數及其導數的總虧量與虧值數目作出了精確估計。 1980年當選為中國科學院院士（學部委員）。 曾獲全國科學大會獎、國家自然科學獎、國家科技進步獎、華羅庚數學獎、陳嘉庚數理科學獎、何梁何利獎與國家圖書獎等。

早期研究生涯的一點體會

楊樂

在這篇短文里，我簡要地談談早期從事研究工作的一點體會。

1962年，我由北京大學畢業後，考入中科院數學所，成為熊慶來先生的研究生。當時，熊先生已年逾古稀，半身不遂，然而他仍經常與我談話。雖然許多談話內容只是一些閒聊、典故，卻使我從學術思想上受到薰陶，並從中探索合適的研究方向。正如熊先生自己所說：“我年事已高，雖不能給你們具體幫助，但老馬識途”。

1、從經典論著中汲取營養

熊先生當時讓我們在討論班裡報告R. Nevanlinna的著作“Le théorème de Picard-Borel et la théorie des functions méromorphes”以及G. Valiron的著作“Directions de Borel des fonctions méromorphes”。對這兩本書的深入研讀以及對值分布領域一批最傑出的學者，如L. Ahlfors，E. Borel，H. Cartan，G. Julia，H. Milloux，P. Montel，R. Nevanlinna，G. Valiron的重要論文的鑽研，為以後自己的研究工作打下了良好的基礎。這方面有一個突出的例子：輻角分布論是一個非常深刻且困難的領域，我們當時為了弄懂它並領會其實質，曾下了一番苦功夫。改革開放後，我與北美、西歐許多國家好幾十位著名函數論專家不斷交往，發現除去D. Drasin與A. Weitsman兩人，其他專家對輻角分布論並沒有多少了解。即使是Drasin與Weitsman也沒有能像我們那樣在這方面下一番苦功。後來，聽到陳省身與丘成桐教授常常說起要從一些經典著作與文獻中汲取思想和營養，我感到很有道理。

研究生期間，我在《中國科學》上發表了4篇論文。當時，國內學術界與國際上幾乎沒有任何交流。例如1964年下半年英國皇家學會會員W. K. Hayman在倫敦舉行的一次國際會議上提出函數論的一些值得研究和未解決的問題時，我和張廣厚已正在從事這方面的研究並解決了一個問題。但我們並不知道Hayman提出了這個研究問題，Hayman也是在我們的論文發表後才得知我們的結果。又如，D. Drasin說他1969年發表在國際頂尖數學期刊“Acta Math.”上的長篇論文，其思想與內容基本上沒有超出我和張廣厚1965年在《中國科學》上的論文。

2、掌握當前國際上的進展與動態

1966年，正當我們將進行畢業論文答辯時，十年浩劫開始了，進一步從事研究工作的計劃推遲了五、六年。1971年底以後，即使恢復了研究室的建制，然而“四人幫”的瘋狂破壞與干擾，極左思潮的泛濫，政治運動的壓力，使得研究人員幾乎無法開展工作。當時，我們對此情況有所認識，全力以赴地投身於研究工作。然而在與研究完全隔絕了6年以後，困難確實極大。從六十年代以來，函數值分布論又有了很大發展。要想做出優秀成果，首先必須掌握當前的進展與動態。為此，我們鑽研了六十年代至七十年代初國際上傑出學者在這方面的論文。如I. N. Baker，J. Clunie, D. Drasin, A. Edrei, W. Fuchs, A. Goldberg, W. Hayman, A. Weitsman等的研究工作。

當時，張廣厚視網膜有嚴重問題，不宜多看書，由我報告論文，聽眾僅張廣厚1人。我們偶爾與北大的函數論同行進行交流，一次我報告時，聽眾也只有莊圻泰與陳懷惠2人。後來，在所謂反擊右傾翻案風時，這些學術討論與活動被認為是走資本主義道路，承受了很大的壓力。

當時國際上專家們在值分布論方面的研究成果與以往的經典論著有了很大的不同。他們圍繞着虧值與虧量關係作了十分深入的探討，獲得了許多新穎與有趣的結果。方法與技巧也更加高超了，引進了擬共形映射、逼近論、調和測度的估計等新內容。為了熟悉與掌握這些成果和方法，我們也下了一番功夫。

3、刻苦攻關，不斷進取

在值分布論方面，熟悉了經典的論著，又掌握了當前的進展與動態，這就為從事研究工作做好了準備。我們認為函數輻角分布論刻畫了函數更為深入的性質，且難度很大，國際上新成果很少，是十分值得研究的課題。開始時，我們看到整函數的Borel方向的分布必須遵循一定的規律，那麼亞純函數的情形如何呢？經過一番細緻的研究，憑籍我們對Borel方向的深入理解，克服了一些困難，發現了不僅僅是整函數，而且範圍大得多的函數類——具有一個虧值的亞純函數，其Borel方向的分布也符合這個規律。

我們的這項研究工作是輻角分布論的一個優秀成果，似乎在這個課題上已難以繼續前進，工作可以告一段落。在那一段時期里，我和張廣厚又反覆鑽研、揣摩，終於發現了在亞純函數的虧值與Borel方向之間存在的深刻關聯。虧值是模分布論的基本概念，圍繞着虧值與虧量關係，有着大量研究工作。Borel方向是輻角分布論的主要概念。過去這兩個概念是各自研究領域的中心，然而它們之間似乎沒有任何聯繫。而且一個是刻劃函數在大範圍的性質，另一個則是描述函數在局部的動態，存在着根本的差異。我們的工作指出有窮正極亞純函數，其虧值總數不超過其Borel方向總數。於是，這兩個中心概念間建立了一個緊密的聯繫。這項研究工作體現了我們研究的特色，也獲得了國際上同行專家的高度評價。

在這項頗具特色的研究工作完成後，我們又進一步考慮如果亞純函數沒有虧值，它們的Borel方向的分布如何？經過反覆研究，我們證明了，在複平面上任意給定一些從原點出發的射線，只要它是非空和“閉”的，則一定可構造出一個亞純函數，它以且僅以這些射線為其Borel方向。這就是說如果將函數類擴大到全體亞純函數，則其Borel方向的分布便完全是任意的。

我們的研究在取得上述第一項成果後似乎已告一段落。如果沒有繼續鑽研，深入研究，則後兩項更具特色的成果就不能獲得。這些成果與我們其他的研究工作長期以來獲得了國際同行的高度評價，從七十年代中期美國純粹與應用數學家訪華團以書籍與論文公開發表的報告中提出的“first-rate”，“outstanding”，“important contributions”，“both new and deep”等，到二十多年後在百科全書、專著、論文中的評價與引用：“important modern contribution”，“Chinese school”，“through study”，“discovered an interesting relation”等。1979-80學年，我與張廣厚應邀赴美訪問，Drasin與Weitsman特地為我們的訪問舉辦了一個大型國際函數論會議，一百餘位來自北美、西歐等國的學者與會。這些是對我們當時刻苦攻關、不斷進取的一種肯定與鼓勵。