張天蓉:丟番圖的墓志銘 |
送交者: 芨芨草 2020年07月03日05:00:14 於 [教育學術] 發送悄悄話 |
張天蓉:丟番圖的墓誌銘
在追溯中國古代用極限思想求圓周率時,我們說到劉徽和祖沖之。比劉徽略早幾十年,另一位頗有貢獻的古希臘(後期)數學家是被譽為“代數之父”的丟番圖(Diophantine公元200~214至公元284~298),他是第一位將數學符號引入代數的人。也有人認為“代數之父”這個稱謂,應與比他大約晚出生五百年的一位波斯數學家花拉子米共享。 也許受歐幾里德的影響太深,古希臘數學家多以幾何著稱。但是,在希臘化的年代裡,也出了一位喜愛代數的丟番圖。 數論中有一個著名的“費馬大定理”,說的是“當整數n大於2時,方程xn+yn=zn沒有正整數解”。這個定理有一段饒有趣味的歷史。據說費馬在1637年,曾經專心閱讀一本數學書並做筆記。讀到第2卷第8題:“將一個平方數分為兩個平方數„„”時,費馬對此問題頗感興趣並推廣聯想到更為一般的情況。但費馬認為一般情形無解,於是在書頁邊的空白處寫下來這麼一段話: “一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和,這是不可能的。關於此,我確信我發現了一種美妙的證法,可惜這里的空白處太小,寫不下。” 這便是後人稱之為“費馬大定理”的假設。之後,這個問題的證明困惑了數學家整整三百多年,最終在1995年被英國數學家安德魯·懷爾斯徹底完成。 當年費馬閱讀的那本書,就是本篇文章的主角丟番圖所著的《算術》(Arithmetica)。 人們對丟番圖的準確出生年月及生活知道不多,只知他一生中基本居住和活躍在埃及的亞歷山大港。有趣的是,現代人對他的生卒年月日難以確定,但卻能確定他活了84歲,這個結論來自於丟番圖的墓誌銘。 這個奇特的墓誌銘是一道謎語般的數學題,翻譯如下: “過路人!這里埋着丟番圖, 聰明的你算算他活了多少年? 他生命的1/6是幸福童年, 生命的1/12是蒙昧少年。 又過了生命的1/7他洞房花燭, 喜得1貴子是在婚後5年, 可惜這孩子只活到了他父親年紀的一半, 孩子死後4年,丟番圖也結束了他的塵世之緣。” 這段墓誌銘寫得太妙了。誰要想知道丟番圖的年紀,就得解一個一元一次方程,解出未知數的答案便是84。 丟番圖確實與代數方程結下不解之緣,他的主要著作,那本被費馬細讀的書《算術》,處理了求解代數方程組的許多問題。該書有不少篇幅已經遺失,在現存的版本中,仍然以問題和答案集的形式收錄了三百多個題目。因此,《算術》看起來不算是代數教科書,而更像是習題集。丟番圖是第一個認識到分數是一種“數”的希臘數學家,在他研究的方程中,允許係數和解為有理數,這個現在看起來不起眼的事情,在數學史中卻具有開創性,在數論和代數領域作出了傑出的貢獻,開闢了廣闊的研究道路。但因為那個年代的數學家最熟悉的還是整數,因而,在現代人的眼中,丟番圖的名字或許時常出現在數論中,例如,丟番圖方程、丟番圖幾何、丟番圖逼近等等,但在代數學中卻不常見。 丟番圖在數學符號方面也作出了貢獻。他認為代數符號比幾何圖像和人類語言更適宜於數學的深入發展,更能夠準確而深刻地表達概念、方法和邏輯之間的關係。因此,丟番圖儘量系統地使用符號,創造符號。符號的發明在數學史上是一次飛躍,我們現在都習慣了簡單的數學符號,仍然可以設想一下:一個公式,如果不用符號而僅用日常語言來表述,會十分冗長而含混不清。 丟番圖也有純粹幾何方式的書,如《多角數》,此外,還有《推論集》等其它著作。 公元8-9世紀,丟番圖的著作逐漸傳到阿拉伯國家,對阿拉伯數學產生巨大的影響。許多中世紀,以及後來的近代數學家,如剛才提及的費馬等,都受到過丟番圖的許多啟發。 |
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